"El Yoneda incrustación refleja exactitud", es una consecuencia directa de Yoneda?

Question

Deje $A,B,C$ ser objetos de una categoría de módulos sobre un anillo. No es difícil ver que el Yoneda incrustar "refleja exactitud" (como Weibel lo pone, en la p. 28), es decir, si

$\hom(X,A)\stackrel{f_*}{\to}\hom(X,B) \stackrel{g_*}{\to} \hom(X,C)$ es una secuencia exacta de abelian grupos para cada módulo de $X$, $A\stackrel{f}{\to}B\stackrel{g}{\to}C$ es una secuencia exacta de los módulos.

Esto se hace en Weibel, o en este artículo de Paul Garrett.

Allí, afirma que este es un caso especial de la Yoneda lema.

Pero yo estoy luchando para ver este es el caso. Aquí está mi (ingenuo) intento:

$\ker(g_*)=\ker(\hom(A,g))\simeq \hom(A,\ker(g))$ debido a que el covariante Hom functor se conserva núcleos (porque conserva sus límites, porque tiene un adjunto a la izquierda)

Me gustaría mucho tener $\operatorname{im}(f_*)\simeq \hom(A,\operatorname{im}(f))\ \ \ \ (*) \ \ $ en la misma forma; si yo tuviera esa, la exactitud de la me $\hom(A,\operatorname{im}(f))\simeq \hom(A,\ker(g))$. Y entonces yo sería feliz, para Yoneda lema podría obtener al instante el me $\operatorname{im}(f)\simeq \ker(g)$.

Pero yo no soy feliz porque no puedo ver por qué $(*)$ mantiene. Es falso que los Hom conserva imágenes.

Sin embargo, estoy desconcertado porque si se supone que esta es una aplicación de Yoneda lema, entonces seguramente debe ser porque $\hom(A,\operatorname{im}(f))\simeq \hom(A,\ker(g))$... o tal vez no?

Answer 1

(Gracias por el ping, @Pierre-Yves Gaillard...)

Como en Pierre-Yves Gaillard de la respuesta, creo que la costumbre de la formalización de "Yoneda el Lema" no literalmente, el rendimiento de la exactitud de la afirmación citada. Sin embargo, si uno tolera una cierta cantidad de figuración de referencia, no es completamente ridículo, consulte uso de $X\rightarrow Hom(X,-)$, y las inferencias acerca de la categoría original de la imagen, como Yoneda-ish. Después de todo, no es por eso que nos preocupamos por el Yoneda mapas?

Como Pierre-Yves G notas, y como en @Agustí Roig elaboración de los punto clave del argumento, hay más ingredientes en el juego, tales como la suma o la abelian-ness, que fueron construidos en el escenario de ejemplo mi nota tratados, por lo que no tiene nombre. Por lo tanto, la pura Yoneda Lema no es directamente tratar todas las cuestiones. Sin embargo, la idea de "considerar" $X\rightarrow Hom(X,-)$ es la divisoria de aguas, creo. Si tomamos el más simple ilustrativos de la situación, abelian grupos, de modo que ("por suerte") el Hom (a,)'s están en la misma categoría, etc., uno puede proceder de inmediato a "hacer la cosa", sin formalismo alguno. Uno de los buenos didáctica de los puntos es que realmente, realmente necesita el "connaturalidad" saber que las plazas de viaje, para llegar a la conclusión. Este es el más simple ilustración conozco (aparte de la habitual topología algebraica ejemplos) de la en-la-calle contenido genuino de "connaturalidad", como opuesto al todo-demasiado-común coctel malentendido de él como "no hacer opciones arbitrarias", etc.

Pero, sí, la narrativa no estaba conectado a ningún formalismo. Las características de $X\rightarrow Hom(X,-)$ que hizo las cosas de trabajo no fueron abstraídos o formalizado.

Me gustaría que se declare culpable de "incorrección formal", pero con circunstancias atenuantes, de la siguiente manera. Es decir, el punto de la vinculado a la nota era para ilustrar la utilidad inmediata de $X\rightarrow Hom(X,-)$ a muy tangible cuestiones, tal como se muestra a la derecha-exactitud de $-\otimes X$, por ver que es un adjunto a la izquierda, y mostrando a la izquierda adjoints (con aditividad...) están a la derecha exacto, por muy general de razones. La audiencia tuvo/tiene un poco antes de amistad con la categoría de teoría o de álgebra homológica, y que la nota fue concebido como un anuncio o promoción de tales ideas, sin la formalización de esas ideas lo suficiente a nombre de ellos precisamente. Si recuerdo correctamente, en particular, alguien había estado forcejeando con una argumentación directa por el derecho a la exactitud de-tensor de producto, y había llegado a estancarse en los detalles que no importa, y yo estaba tratando de hacer un caso para ellos que la relación de causalidad en la situación podría (sin tener que pagar demasiado pesado un precio) se entiende mejor como adjunto functors, etc. Para realizar ese caso, no hay absolutamente ningún espacio para cualquier conjunto. Al mismo tiempo, el nombre de caer parecía apropiado en el terreno filosófico.

No estoy en ningún sentido", una categoría teórico" o "homológica algebrista", pero ¿ tiene algo de aprecio por la amplia utilidad de las ideas", e incluso" sin el formalismo o la abstracción de los conceptos. De hecho, yo diría que las ideas "están ahí", si uno reconoce/formaliza o no, y que el reconocimiento de ellos es inmediatamente útil en el sentido más pragmático. Aquí estoy jugando en contra de la creencia común de que uno "elige", o no, a "hacer" de la categoría de teoría o de álgebra homológica, y que el desconocimiento de esas ideas es una opción viable, completamente opción sensata.

En ese contexto, tal vez sobre-venta "Yoneda" al lanzar en un par más de los ingredientes es un exceso que puede ser perdonado? (No es tan malo como una "sopa de piedras" escenario.)

Yo también admitir a un decreciente interés en la formalización, especialmente definiciones. Expresivo ejemplos me parecen mucho mejor, incluso sin una pre-existente nombre para el fenómeno ilustrado. Un "problema" con esto es que ocurren naturalmente ejemplos ilustrativos a menudo no son "puros", en el sentido de que más que el único fenómeno que está involucrado. E. g., si digo que estoy ilustrando Yoneda por la exactitud argumento en la mano, la ilustración no es "puro", y existe el potencial de confusión, de hecho. Por otro lado, si estoy tratando de convencer a alguien de las virtudes de una idea (la $X\rightarrow Hom(X,-)$), no sería prudente ignorar deliberadamente el "extra" de las características que realmente importaba.

En resumen: de hecho, Yoneda no literalmente, implica que la exactitud conclusión, creo. Tampoco necesita ser invocada en el caso simple en la mano. Más bien, algunos aspectos de un caso especial de Yoneda están siendo probado directamente, junto con algunos bits adicionales para abordar el problema a mano.

Edit: en respuesta a @Bruno Stonek la pregunta de seguimiento, el "connaturalidad" es la obvia, esencialmente trivial afirmación de que la exactitud de la fila superior implica la exactitud de la fila inferior en las siguientes: $$ \matriz{ 0 & \rightarrow & Hom(LX,A) & \rightarrow & Hom(LX,B) & \rightarrow & Hom(LX,C) \cr & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \cr 0 & \rightarrow & Hom(X,RA) & \rightarrow & Hom(X,RB) & \rightarrow & Hom(X,RC) } $$ donde las flechas verticales son isomorphisms, y $L,R$ están a la izquierda y a la derecha adjunto a cada uno de los otros. Que es, sin connaturalidad (o cualquier nombre que a uno le gusta), la vertical isomorphisms no necesariamente asegurar que las plazas de viaje.

Otro Edit: en respuesta a Bruno Stonek más "tangencial" pregunta... El "aditividad" o algo similar calificador es necesario para la "exactitud", para dar sentido a todo. En el conocido categorías concretas donde tendríamos ningún impulso a mencionar , tales como las categorías de los módulos a través de algunos de anillo, es sólo la estructura que estamos acostumbrados. No todas las categorías se comporta de esta manera, por supuesto. Unas nociones suficientes para hablar de kernels y cokernels, obviamente, puede ser axiomatized...

Answer 2

No sé si se puede usar de manera más explícita Yoneda para probar esto, pero si en

$$ \hom(X,A) \stackrel{f_*}{\longrightarrow} \hom(X,B) \stackrel{g_*}{\longrightarrow} \hom(X,C) $$

tomar

• $X = A$, tendrás que $0=g_*f_*(\mathrm{id}_A) = gf$. Por lo tanto, $\mathrm{im}\ f \subset \ker g$.
• $X = \ker g$, y considerar la inclusión de $\iota \in \hom (\ker g, B) $, vas a tener que $g_*(\iota) = g\iota = 0$. Por lo tanto, hay algo de $\kappa \in \hom (\ker g, A)$ tal que $\iota = f_*(\kappa) = f\kappa$. Y así, $\ker g = \mathrm{im}\ \iota = \mathrm{im}\ (f\kappa) \subset \mathrm{im}\ f$.

Answer 3

Aquí es como yo lo entiendo Paul Garrett comentario en el texto enlazado en Bruno pregunta.

Para cualquier categoría de $C$, vamos a $C'$ ser el opuesto de la categoría. Deje $A$ ser un abelian categoría y $G$ la categoría de abelian grupos. "Functor" significa "aditivo functor".

Las siguientes instrucciones son sencillas.

$\bullet$ La categoría de functors de $A$ $G$es abelian de una manera natural.

$\bullet$ Natural functor de $A$ $\hom(A',G)$es completa, fiel, y a la izquierda exacta.

$\bullet$ Deje $F:A\to B$ ser un completo y fiel a la izquierda functor exacto entre abelian categorías, vamos a $$a_1\to a_2\to a_3$$ be arrows in $Un$, and assume that $$Fa_1\to Fa_2\to Fa_3$$ is exact. Then $$a_1\to a_2\to a_3$$ es exacto.

Answer 4

Yoneda Lema, En mi opinión, es demostrar Yoneda incrustación functor (que es totalmente fiel).

Usted puede probar sin ningún tipo de dificultad para mostrar que si una incrustación functor es exacto al mismo tiempo, entonces "reflejan la exactitud" (Por homología de cálculo).

Tal declaración y las pruebas que usted menstioned en Weibel del libro de texto sólo significa que la exactitud de esta incrustación no es necesario para "reflejar la exactitud".

Aquí está la declaración:

Suponga que dos abelian categorías $\mathscr{A}$, e $\mathscr{B}$, y un adictivo fuctor $E$ entre ellos. En additioin, $E$ es totalmente fiel, entonces tenemos:

Considere la posibilidad de $a \xrightarrow{f} b\xrightarrow{g} c$ en categoría $\mathscr{A}$, si $E(a) \xrightarrow{E(f)} E(b)\xrightarrow{E(g)} E(c)$ es exacta en $\mathscr{B}$, $a \xrightarrow{f} b\xrightarrow{g} c$ si exacto en $\mathscr{A}$. tomar

• $E(g)E(f)=E(gf)=0\Rightarrow gf=0$ implica $\mathrm{im}(f)\subseteq \mathrm{ker}(g)$.

• considerar la inclusión de $\iota \in \hom (\ker g, b)\cong\hom(E(\ker g),E(b)) $, mediante la siguiente secuencia exacta: $$ 0\rightarrow\hom(E(\mathrm{ker}g),E(a)) \rightarrow \hom(E(\mathrm{ker}g),E(b))\rightarrow \hom(E(\mathrm{ker}g),E(c)) . $$ podemos encontrar $\kappa \in \hom (\ker g, a)$ tal que $\iota = f\kappa$, Y así, $\ker g = \mathrm{im}\ \iota = \mathrm{im}\ (f\kappa) \subset \mathrm{im}\ f$.