Es bien sabido que QED y $\Phi_4^4$ teoría cuántica de campos tiene (en normaliza teoría de la perturbación) un Landó polo y por lo tanto no son asintóticamente libre. Es este a 4-dimensional QFT, o hay ejemplos de teorías con Landau polos en 2 y 3 dimensiones?
Respuesta
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Uno puede hacer una teoría no local para tener un Landó polo en 3d, mediante el uso de Levy-campos (los campos con un mal de ley de potencia propagador).
Con un solo campo escalar $\phi$, considerar la distancia Euclídea de acción:
$$ S = \int |q|^{\alpha}|\phi(q)|^2 d^3q+ \int t\phi^2 + \lambda|\phi|^4 d^3x$$
Esta teoría tiene una teoría de la perturbación exactamente igual a $\phi^4$ teoría, con un predicador que tiene una diferente de la divergencia de la estructura:
$$ \langle\phi(q)\phi(q')\rangle_F = {1\over |q|^\alpha}$$
para hacer la divergencia de los vértices renormalization logarítmica, usted necesita el vértice renormalization integral a
$$ \int {1\over |q|^{2\alpha}} $$
De modo que $\alpha=1.5$ es el registro diverent elección. Esta opción produce un registro de ejecución teoría renormalizable en 3d. El renormalization ejecución tiene exactamente la misma forma a un bucle de orden como de costumbre, $\phi^4$ teoría, por lo que deben tener un Landó polo (de lo contrario, podría ser asintóticamente segura, pero es lo suficientemente similar a $\phi^4_4$ que de ninguna manera).
El entramado de la versión de esta teoría proporciona un no-perturbativa modelo estadístico para definir la larga distancia de la teoría, y es un modelo de Ising con un no locales acoplamiento $J(x-y)$ que se cae como la correspondiente powerlaw.
El campo escalar las correlaciones de un no local J de acoplamiento se determinan a partir de la transformada de Fourier de J, por lo que para obtener la ley de potencia ${1\over |q|^{1.5}}$ desea que la función de correlación:
$$ G(x-y) \approx {1\over|x-y|^{1.5}} $$
Esto viene de un J acoplamiento, que es la transformada de Fourier de ${|q|^{1.5}}$, que la integral de la $\int |q|^{1.5} e^{iq\cdot x} d^3q$ cae como ${1\over |x|^{4.5}}$ sobre las dimensiones causales (con una importancia de compensación $\delta$ función en el origen a cero fuera de la integral de la transformada de Fourier se desvanece en el origen). Así que la J de la función de la Ising como un modelo debe caer con un 4.5 exponente para producir el equilibrado de la función de correlación en las largas distancias.
Esta difuminación en el acoplamiento organiza este modelo de Ising a ser un poco de campo medio en 3d, de modo que se ejecuta a un débil acoplamiento a larga distancia límite. Puede simular este modelo de Ising en una computadora, y el de larga distancia fluctuaciones deben ser descritos por los no locales escalar de la teoría anterior.
Esto significa (con el físico de los estándares de argumento, esto no va a convencer a un matemático) que usted obtenga el Landó de polo en la larga distancia de la teoría. La razón es que el modelo de Ising es un infinito $\lambda$ punto de partida, y si renormalizes a un débil acoplamiento libre de la teoría de campo en las largas distancias, el de larga distancia teoría inversa renormalize a un infinito de acoplamiento $\lambda$ a las distancias correspondientes a la red de espaciado del modelo de Ising. Esta es la heurística del curso, un riguroso versión de renormalization es mucha falta.
En 3d, si no estas no locales trucos, no se acostumbra Landau polos, debido a la costumbre de los acoplamientos de cierre dimensiones y han de ley de potencia en ejecución. Esto significa que se les da "más fuerte" en las distancias cortas como una potencia particular, que no es realmente cada vez más fuerte, debido a que toda la teoría adquiere una escala diferente-invariante de escala de la libre-la teoría del campo y no se puede hacer a pequeña acoplamiento de la teoría de la perturbación directamente en 3d sin trucos. La no-perturbativa semi-fuerte-acoplamiento punto fijo es el de Wilson Fisher teoría, que puede ser descrito por $\epsilon$ expansión, que se expande cerca de 4 dimensiones
Las dimensiones de las expansiones de la década de 1970 que la física es mejor considerado como la racionalización de una expansión en la ley de potencia del parámetro $\alpha$ introducido en los no locales de Lagrange anteriormente, este es el punto de vista de la "analítica de renormalization", que es la descuidado precursor de ambas dimensiones de regularización y epsilon de expansión. El chico que hizo de la analítica de renormalization, Eugene Speer, nunca está debidamente acreditados, a pesar de que él es en gran parte responsable de esta base conceptual de la epifanía.
