Son números racionales + números construido con un root = números algebraicos?

Question

Estoy de matemáticas novato, así que una explicación intuitiva es el más útil para mí, pero no tire de sus puñetazos con las fórmulas, si te apetece.

Podemos construir los números racionales mediante la operación de división. Tomar números enteros a y no-cero b y podemos tener cualquier racional con la fórmula a/b.

Del mismo modo, podemos definir un conjunto de números a través de la raíz de la operación. Tomar positivos racionales a y b, y podemos tener cualquier - vamos a llamarlos "la raíz de números", ya que no conozco el término mejor para ellos - a√b, (ath raíz de b)

Ahora, la mayoría de las raíces de los números son ciertamente irracional, pero que son contables y algebraicas. También, creo que a raíz de los números son un superconjunto de los racionales, ya que se puede escribir cualquier racional r con 1√r. Mis preguntas son:

1. Es la raíz de la operación con las cuatro operaciones básicas suficientes para expresar cualquier algebraica de números? O ¿necesita algo más, como la operación de exponenciación? Es un^b con cualquier racionales b y positivo definible sin el uso de la exponenciación?
2. Cualquier número racional se puede expresar utilizando sólo una división. Si definimos a raíz de los números para ser expresado usando sólo una raíz de la operación, estoy en lo cierto si digo que incluso si la pregunta 1. es cierto, el uso de este formato limitado, no podemos expresar todos los números algebraicos? (Puesto que podría tener algo como (a√b)√c, y ya que hemos definido originalmente la raíz con los números racionales y que es el uso de la raíz de la operación con la raíz de números por sí mismo por lo que el resultado no es tal vez contenida en la raíz de números?)

La razón por la que me metió en esto, es que se puede expresar un conjunto limitado de números, como racionales o la raíz de números utilizando una fórmula fija, y que es conveniente si usted necesita para definir un número exactamente cuando la programación con un ordenador con un limitado a la "estructura" de almacenar el número - pero empecé a preguntarme si había una "fija" la fórmula para el conjunto de los números algebraicos.

Answer 1

No sólo racional y el número construido usando $+,-,\times,\div,\sqrt[n]{}$ formulario de números algebraicos. Por ejemplo, las raíces de $x^5+x^2+1$ no puede ser construido usando racionales y $\sqrt[n]{}$, pero todas las cinco raíces de los anteriores polinomio son números algebraicos. No hay ningún conjunto fijo de fórmulas para generar todos los números algebraicos.

Un número $\alpha$ es un número algebraico si existe un polinomio con coeficientes enteros, decir $p(x)$, de tal manera que $p(\alpha) = 0$.

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También, cuando la representación de un número en un equipo de la mejor y de la manera correcta es la de almacenar la $17$ dígitos después de la coma decimal (suponiendo que la máquina epsilon es $1$e$-16$). Por ejemplo, si desea almacenar $\sqrt2$ en tu programa si usted necesita repetidas veces, la mejor y la manera correcta de almacenar, es como sigue:

const double SQRT2 = 1.4142135623730950488;

Esto es válido para cualquier número que no sólo algebraica de números en un ordenador.

const double PI = 3.14159265358979324;

Answer 2

Representación de números algebraicos en un equipo es muy difícil de hacer y muy poco práctico. Sé que desde que he estado tratando de hacer esto por un tiempo, la única manera que he encontrado hasta ahora que puede hacer esto, es el almacenamiento de los coeficientes de un polinomio con esa raíz, sin embargo esto le da un número que representa todas las raíces del polinomio, por lo que tendría que encontrar una manera de identificar que la raíz de la que usted habla. Esto puede parecer fácil, pero la identificación de las raíces es en realidad un problema muy difícil, si usted desea hacer cualquier cálculo con los números.

Por ejemplo si queremos representar a $\sqrt[3]{2} + \sqrt[9]{8}$, usted puede hacer un polinomio con ese número como una raíz, estos números sólo tiene 1 raíz real así que si sólo considerar las raíces reales de estos están perfectamente bien los números.
Si usted quiere encontrar un polinomio que contiene la suma de ellos, que necesita para resolver un sistema de ecuaciones lineales (muy similar a este, a pesar de que es la multiplicación)
En este caso el resultado es: $$x^{24} - 20x^{21} + 184x^{18} - 1064x^{15} - 3344x^{12} - 146528x^9 + -304064x^6 - 25472x^3 - 2048$$ Y este número no tiene el root deseada $\sqrt[3]{2} + \sqrt[9]{8}$. Éxito! O es? Debido a que este polinomio tiene otra raíz real, estupendo a nosotros nunca el uso de las operaciones con más de 1 resultado real.

Fuentes: propias de los intentos de implantación de números algebraicos y de este blog