El problema con la Solución de Spivak

Question

Este fue el problema:

Aquí está la solución de sus soluciones de libro:

Esto es apenas una prueba. ¿Cómo puede él acaba de decir que vamos a $f(c) = 0$? ¿Cómo se puede demostrar que $f(c) =0$ y ¿cómo se puede demostrar que $f(d) = 0$?

¿Cómo puedo utilizar el IVT para demostrar que criterio? Gracias!

Answer 1

$$c:=\max\{x\in[a,x_0]|\ f(x)=0\}$$

Por definición,$c\in\{x\in[a,x_0]|\ f(x)=0\}$. Por lo tanto,$f(c)=0$. Asimismo, para $f(d)=0$.

Más interesante es mostrar que el máximo de existe. Podemos definir a la vez $$c':=\sup\{x\in[a,x_0]|\ f(x)=0\}$$ que siempre existe. Por definición de supremum hay una secuencia $x_n\in\{x\in[a,x_0]|\ f(x)=0\}$ tal que $x_n\to c'$. Pero, debido a $f$ es continuo,$f(c')=\lim f(x_n)=\lim 0=0$. Por lo tanto,$c'\in\{x\in[a,x_0]|\ f(x)=0\}$, es decir, $c'$ es en realidad un máximo.

La otra parte interesante es mostrar que $f(x)>0$$x\in[c,d]$. Asumiendo $f(x)=0$ algunos $x\in[c,d]$ es una contradicción con la definición de $c$$d$. Suponiendo que $f(x)<0$ algunos $x\in[c,d]$ da un punto en $[x,x_0]$ donde $f$ se desvanece. De nuevo, esto contradice la definición de $c$$d$.

Answer 2

Aparte del hecho de que las etiquetas de $c$ $d$ en el gráfico han sido invertidos, no hay nada malo con el argumento. El conjunto de $x\in[a,x_0]$ tal que $f(x)=0$ es no-vacío, ya que contiene $a$, y está cerrada debido a $f$ es continua, por lo que tiene un elemento más grande, que vamos a llamar $c$. $f(x_0)\ne 0$, por lo $c<x_0$. La existencia de $d$ sigue el mismo razonamiento se aplica para el intervalo de $[x_0,b]$.

Si usted no sabe acerca de conjuntos cerrados en este punto, el problema es más difícil: tienes que demostrar que $A=\{x\in[a,x_0]:f(x)=0\}$ tiene un máximo. Ciertamente tiene un supremum (menos de límite superior) $u$, ya que es acotada arriba por $x_0$. Y si $u\notin A$, debe haber una secuencia $\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ $A$ convergentes a $u$. La continuidad de la $f$ implica entonces que $\langle f(y_n):n\in\Bbb N\rangle$ converge a $f(u)$ y que, por ende,$f(u)=0$, es decir, que $u\in A$, después de todo.

Answer 3

Aquí está la parte difícil de la prueba que está haciendo barridos debajo de la alfombra:

Lema: No existe un mayor $x \in [a,x_0]$ tal que $f(x) = 0$

Para demostrar esto, basta con que el conjunto $\{x \in [a,x_0]: f(x) = 0\}$ es un subconjunto cerrado de un conjunto acotado. Tal vez este enfoque es demasiado sofisticado, aunque.

Si queremos palo métodos más sencillos, podemos proceder de la siguiente manera: definir $$c = \sup\{x \in [a,x_0]:f(x) = 0\}$$ Supongamos que $f(c) \neq 0$. Entonces, por la continuidad, hay un $\delta>0$ tal que $f(x) \neq 0$$x \in (c-\delta,c)$, lo que significa que $c$ no puede ser el supremum tal como fue definido.

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de $f(c) = 0$, por lo que el $c$ es el mayor $x$ $[a,x_0]$ tal que $f(x) = 0$.

Answer 4

Elaborar en mis comentarios, voy a establecer lo siguiente:

IVT (más Fuerte): Vamos a $f$ ser continua en $[a, b]$ $f(a) \neq f(b)$ y deje $k$ ser un número entre el$f(a)$$f(b)$. Entonces existe al menos un valor de $x \in (a, b)$ que $f(x) = k$ y hay un mayor valor de $x \in (a, b)$ que $f(x) = k$.

La prueba a continuación está tomado de Hardy Matemática Pura (y este libro hace hincapié en esta versión más fuerte de IVT) y se basa en Dedekind del Teorema.

Supongamos que $f(a) < f(b)$, de modo que $f(a) < k < f(b)$. Dividir los números de $x \in [a, b]$ en dos conjuntos de $L$ $R$ tal que $x \in L$ si los valores de $f$ en cada punto del intervalo $[a, x]$ son de menos de $k$. Poner los números restantes en $R$, de modo que $R = [a, b] - L$. Debería estar claro ahora que ya $f(a) < k$ hay un pequeño barrio de tipo $[a, a + h]$ donde los valores de $f$ son de menos de $k$, por lo tanto todos los puntos de $[a, a + h]$ pertenecen a $L$ y, por tanto, $L$ no está vacía. También está claro que la $b \in R$ (debido a $f(b) > k$) por lo que el $R$ también es no vacío (en realidad $R$ contiene todos los puntos del intervalo $[b - \delta, b]$ para un pequeño adecuado $\delta$). Se puede ver a partir de las definiciones de $L, R$ que forman un Dedekind corte y por lo tanto no hay un único número $\alpha \in [a, b]$ tal que para todos los números de $x \in [a, \alpha)$ pertenecen a $L$, y todos los números $x \in (\alpha, b]$ pertenecen a $R$. También es claro que $a < \alpha < b$ (debido a $[a, a + h] \subseteq L$$[b - \delta, b] \subseteq R$).

Vamos a mostrar que el $f(\alpha) = k$. Por el contrario, asumir que $f(\alpha) < k$. Entonces, por la continuidad que existe un pequeño intervalo de tipo $[\alpha - \epsilon, \alpha + \epsilon]\subseteq [a, b]$ donde todos los valores de $f$ son de menos de $k$. Pero $\alpha - \epsilon < \alpha$ $\alpha - \epsilon \in L$ y por lo tanto todos los valores de $f$ $[a, \alpha - \epsilon]$ son de menos de $k$. De ello se deduce que los valores de $f$ en el intervalo de $[a, a + \epsilon]$ son de menos de $k$. Por lo $\alpha + \epsilon \in L$ y esto es una contradicción, porque todos los números en $(\alpha, b]$ pertenecen a $R$.

Una similar contradicción puede ser alcanzada si asumimos que $f(\alpha) > k$. De ello se desprende que $f(\alpha) = k$. También desde todos los números de $[a, \alpha)$ pertenecen a $L$ se deduce que los valores de $f$ $[a, \alpha)$ son de menos de $k$. Por lo tanto, $\alpha$ es el menor valor de $x \in [a, b]$ que $f(x) = k$.

Mediante la modificación de las definiciones de $L, R$ podemos mostrar que hay un mayor número de $\beta \in (a, b)$ que $f(\beta) = k$. Para esto necesitamos definir $R$ a contener todos los puntos de $x$ $[a, b]$ para el cual los valores de $f$ $[x, b]$ son mayores de $k$$L = [a, b] - R$.

Esta prueba de IVT basado en Dedekind del teorema tiene la ventaja de que da un resultado más fuerte.

Para la pregunta actual podemos ver que $c$ es el menor valor de $x \in [x_{0}, b]$ que $f(x) = 0$ $d$ es el mayor valor de $x$ $[a, x_{0}]$ que $f(x) = 0$.

Answer 5

Creo que el problema (lo que en realidad molesta y confunde aquí) es la elección de la notación, no prueba por sí mismo.

Así, el problema requiere demostrar la existencia de $c$ $d$ que satisfagan ciertas condiciones.

La sugerencia de que el libro comienza con: Deje $c$ es tal y tal y $d$ es tal y tal. Y, el resto de la prueba debe seguir.

Sin embargo, la mejor, de forma más clara sería: Vamos a $e$ es tal y tal y $f$ es tal y tal. De demostrar que $e$ $f$ son verdaderamente $c$ $d$ usted está buscando.