¿Por qué la transformada de Fourier es autoinversa?

Question

He visto la prueba estándar de que la transformada de Fourier es autoinversa (hasta un factor global determinado por las convenciones), que es esencialmente equivalente a $\int_{-\infty}^\infty e^{2 \pi i \omega x} dx = \delta(\omega)$ . Eso no es demasiado difícil de ver a partir de las definiciones.

Pero intuitivamente, la transformada de Fourier de una función da la amplitud de cada frecuencia componente en un sentido obvio. ¿Es intuitivamente obvio que esta operación es autoinversa o hay una razón profunda por la que debe ser así?

Answer 1

Esta no será la respuesta más rigurosa, sino sólo una representación de mi intuición con respecto a la transformada de Fourier.

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En la mecánica cuántica no relativista hay dos operadores importantes que actúan sobre $L^2(\mathbb{R})$ .

El operador del puesto,

$$ (\hat{x} \psi)(x) = x\psi(x),$$

y el operador de momento,

$$ (\hat{p} \psi)(x) = -i \frac{\partial \psi}{\partial x} (x).$$

Ahora los "vectores propios" de $\hat{x}$ son $a_{x'}(x) = \delta(x-x')$ y los "vectores propios" de $\hat{p}$ son $b_p(x) = e^{ipx}$ .

Ahora bien, si estudias algo de álgebra lineal sabrás que la elección de la base es arbitraria. También sabrás que los vectores propios de un operador hermitiano siempre forman una base completa. Aunque nuestros operadores sean hermitianos, sus funciones propias no viven en $L^2(\mathbb{R})$ . Voy a ignorar por completo ese hecho y pretender que pueda utilizarlos como base.

Por ejemplo, la expansión de $\psi(x)$ en términos de $a_x$ será,

$$ \psi(x) = \int \mathrm dx'\ c(x') a_{x'}(x),$$

podemos utilizar lo que sabemos sobre las funciones delta para concluir que los coeficientes de expansión adecuados, $c(x')$ son de hecho $c(x')=\psi(x')$ .

Si queremos ampliar $\psi$ en la base del momento (el $b_p$ ') entonces escribimos la superposición e intentamos determinar los coeficientes.

$$\boxed{ \psi(x) = \int \mathrm dp \ c(p) b_{p}(x)},$$

la función de coeficiente, $c(p)$ es un vector en $L^2(\mathbb{R})$ también. De hecho lo que hemos escrito aquí es un isomorfismo entre la base x y la base p. Sin embargo, el comportamiento de los operadores sobre las funciones expresadas en estas nuevas bases es diferente.

$$ \hat{x} \psi(x) = \int \mathrm dp \ c(p) x e^{ipx} = \int \mathrm dp \ c(p) \left(-i\frac{\partial}{\partial p} \right)e^{ipx} = \int \mathrm dp \ i \frac{\partial c(p)}{\partial p} e^{ipx} $$

$$ \boxed{ \hat{x} = i \frac{\partial}{\partial p}} $$

$$ \hat{p} \psi(x) = \int \mathrm dp \ c(p) \left(-i \frac{\partial}{\partial x} \right) e^{ipx} = \int \mathrm dp \ c(p) p e^{ipx} = \int \mathrm dp \ i \frac{\partial c(p)}{\partial p} e^{ipx} $$

$$ \boxed{ \hat{p} = p} $$

Esto significa que en la base p los valores propios de $\hat{x}$ son $a_x(p) = e^{-ipx}$ . Puedo escribir $c(p)$ en términos de la base x entonces por la integral,

$$ c(p) = \int \mathrm dx \ \phi(x) e^{-ipx} $$

He utilizado $\phi(x)$ para representar los coeficientes en esta expansión, pero en la práctica conocemos el vector en la base x que es isomorfo a $c$ , eso sería $\psi(x)$ .

$$ \boxed{ c(p) = \int \mathrm dx \ \psi(x) e^{-ipx} }$$

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Uno de los problemas es que la normalización de las transformaciones está desactivada. Esto se debe a que no tienen normas finitas. Para ello es necesario demostrar el teorema de inversión de Fourier.

Answer 2

Considere la frecuencia temporal $(t, f)$ interpretación del plano. Supongamos que empezamos con $f(t)$ a lo largo del eje temporal. Definir la matriz de rotación (llamada grupo elíptico en este contexto) tal que

$$ M_\gamma = \begin{pmatrix}\cos(\gamma) & -\sin(\gamma)\\ \sin(\gamma) & \cos(\gamma)\end{pmatrix}, \qquad \qquad \gamma = m \pi/2 $$

Así, aplicando Fourier una vez se gira hacia los ejes de frecuencia, aplicándolo de nuevo, se mueve en el lado opuesto de los ejes de tiempo (Como se puede comprobar a través de la integración).

En general, para aplicar la transformada de Fourier $m$ veces es girar la señal con $\gamma = \frac{m\pi}{2}$ grado (siendo los ejes de tiempo y frecuencia ortogonales).

$$\mathcal{F}^m = \begin{cases}f(t)& \mbox{ if } m \equiv 0 \mod 4 \\\mathcal{F} & \mbox{ if } m \equiv 1 \mod 4\\ f(-t) & \mbox{ if } m \equiv 2 \mod 4\\ \mathcal{F}^{-1} & \mbox{ if } m \equiv 3 \mod 4\end{cases} $$

Por lo tanto, no es autoinverso, sino que goza de una propiedad de periodicidad cuádruple.

También hay que tener en cuenta que la rotación en grados arbitrarios, (es decir $m$ no entero) es el núcleo de la transformada de Fourier fraccionaria.

EDITAR ( $M_\gamma$ y la transformación integral)

En resumen, la multiplicación de $f(t)$ por $t$ en el dominio del tiempo (que sea a través de un operador $Q$ ) corresponde a la diferenciación (con rotación por -i) en el dominio de la frecuencia (mediante un operador $P$ ). Definir el operador (lineal) $C_M$ tal que $C_M Q = CQC^-1 = dQ - bP$ y $CPC^{-1} = -cQ + aP$ parametrizado por

$$M = \begin{bmatrix}a & b\\ c& d\end{bmatrix} \in SL(2, R)$$

Cuando $M$ es una matriz de rotación, es decir $M = M_\gamma$ y específicamente $\gamma = \frac{\pi}{2}$ (para que $a, d = \cos(\pi/2) = 0, b = -c = 1$ ), obtenemos la transformada de Fourier (aplicada una vez). Por ejemplo, su acción sobre $tf(t)$ es $C_M tf(t) = CQC^{-1}F(f) = -P F(f) = i\frac{d F}{df}$ .

Y lo que es más importante, la composición de $C_{M_1}$ y $C_{M_2}$ corresponde a la multiplicación de $M_1$ y $M_2$ , lo que explica la cuádruple periodicidad. El argumento de $Q$ (con uno similar para $P$ ) es la siguiente:

\begin {align}C_{M_2}Q'C_{M_2}^{-1} &= C_{M_2}C_{M_1}Q(C_{M_2}C_{M_1})^{-1} \\ &= C_{M_2}(d_1Q - b_1P)C_{M_2}^{-1} \\ &= c_2b_1 + d_2d_1Q - (a_2b_1 + b_2d_1)P \\ &= C_{M_1M_2}QC_{M_1M_2}^{-1} \end {align}

En términos de núcleo de la transformada integral, $\int df F(f) C_M(t,f)$ se define como $C_M(t, f) = \theta_M e^{i(at^2 - 2tf + d f^2)/2b}$ que es $e^{-itf}$ para el caso de la transformada de Fourier, hasta una constante $\theta_M$ .

Todas las propiedades interesantes de las transformadas integrales se codifican a través de la matriz $M$ Véase el capítulo 9 de Transformadas integrales en ciencia e ingeniería, de Wolf.

Estoy seguro de que la interpretación/motivación de la mecánica cuántica será valiosa, especialmente para saber cómo surgieron en primer lugar, como se insinúa en el post de @Spencer aquí.

Answer 3

No es autoinverso: $F^4=I$ pero $F^2 \neq I$ .

Answer 4

$$ f=\sum_{n}(f,e_n)e_n,\;\;\;\; e_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx} \\ g=\int_{s}(f,e_s)e_s,\;\;\;\; e_s(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{isx} $$ ¿Ves alguna similitud? La primera es la expansión de una función en términos de la serie de Fourier en $[-\pi,\pi]$ . La segunda es la expansión de la integral de Fourier. La transformada discreta de Fourier es $\hat{f}(n)=(f,e_n)$ que es la función de coeficiente necesaria para reconstruir $f$ en términos de la base ortonormal $\{e_n \}_{n=-\infty}^{\infty}$ . La transformada de Fourier parece más simétrica porque tanto la función de coeficiente $\hat{f}(s)=(f,e_{s})$ y la reconstrucción mediante esta función de coeficiente son ambas integrales. Pero fíjate que hay una diferencia, y el cambio de signo no es sólo superficial.

Los papeles de la transformada hacia delante y de la reconstrucción integral inversa son bastante diferentes, aunque en este caso acaben estando relacionados. Es más bien una coincidencia que el cálculo de la función de coeficiente $\hat{f}(s)=(f,e_s)$ y la reconstrucción inversa $\int_{s} \hat{f}(s)e_{s}$ están relacionados. El contexto original distinguía definitivamente entre ambas, y también se distinguen por un cambio de signo. La similitud entre la transformada hacia delante y la integral de reconstrucción es interesante, pero me parece que se pierde el contexto al verlo así. Hay muchas otras expansiones de funciones propias integrales en las que es importante distinguir entre el cálculo de los coeficientes y la reconstrucción integral.