¿Qué ecuación puede producir estas curvas?

Question

¿Existe una ecuación que pueda producir las curvas mostradas en la imagen adjunta, variando una sola variable?

Answer 1

Consideremos la hipérbola equilátera $xy=1$ y mapear los puntos $(1,0)$ y $(0,1)$ a dos puntos simétricos de la hipérbola $(t,t^{-1})$ y $(t^{-1},t)$ por traslación/escalado (como si hicieras zoom).

$$(x(t-t^{-1})+t^{-1})(y(t-t^{-1})+t^{-1})=1.$$

La línea recta corresponde a dos puntos infinitamente cercanos, $t=t^{-1}=1$ que es un caso degenerado de la ecuación.

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Respuesta anterior :

Puedes pensar en un lápiz de parábolas, $y=\frac1{\sqrt2}+\frac\lambda{\sqrt2}(2x^2-1)$ , que se gira por $45°$ derecho, dando

$$x+y=1+\lambda\left((x-y)^2-1\right).$$

Puedes resolver la ecuación cuadrática de $y$ .

Answer 2

Asumiendo que lo que has dibujado es una parábola, y $p$ una constante para empujar cada parábola a lo largo de la línea de simetría,

$$ y = p (1-x^2) $$

Ahora gíralos en el sentido de las agujas del reloj por $\pi/4 \, , (x,y) \rightarrow ( x+y, x-y)/\sqrt2. $

EDIT1:

Como lo has dejado libre en cuanto a la forma dentro de las restricciones, podríamos utilizar una curva cosh, una curva sec, etc.

De hecho, podemos generalizar esto usando cualquier función par abierta E(x) , pasando por $(\pm 1/\sqrt{2},1/\sqrt{2} ). $

Dejar

$$y(x,p) = (1 + p *(1/2 - x^2) E(x)) /\sqrt{2} \, $$

y construyendo una función diferenciable, girando la curva por $-\pi/4$ podemos hacer que la familia pase por puntos singulares $(0,1),(1,0) $ como se muestra arriba y se ilustra a continuación en un caso particular.

En el gráfico siguiente $E(x) = \cos^2(x) $ se elige con $ p= (\pm 2,0). $

Para el caso especial anterior se obtuvieron parábolas utilizando $E(x)=1 $ perturbado por la arbitrariedad $p$ valores.

Answer 3

Pruebe un superellipse : $|x|^a + |y|^a =1$ con $0 <a \le 1$ .

Answer 4

Prueba también con una curva cuadrática de Bézier $$ \gamma(t) = (1 - t)^{2} P_0 + 2(1 - t)t P_1 + t^{2} P_2 $$ donde $P_0=(1,0), P_1=(a,a), P_2=(0,1)$ con $a \in [0,0.5]$ .

Answer 5

En primer lugar, puede utilizar una herramienta como Digitalizador Engauge para obtener tablas de puntos de datos para cada curva. A continuación, intente una Gráfico logarítmico para determinar una aproximación polinómica o utilizar una herramienta de ajuste de su elección para obtener ajustes del mismo tipo para cada curva. Por último, encontrar un parámetro que describa cada curva de forma que todos los parámetros de ajuste obtenidos anteriormente puedan ajustarse también mediante funciones simples, idealmente lineales o un polinomio de bajo orden.