¿Cuál es la diferencia entre la varianza y la desviación estándar?

Question

Me preguntaba cuál es la diferencia entre la varianza y la desviación estándar.

Si calculas los dos valores, es claro que obtienes la desviación estándar de la varianza, pero ¿qué significa eso en términos de la distribución que estás observando?

Además, ¿por qué realmente necesitas una desviación estándar?

Answer 1

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

La desviación estándar se expresa en las mismas unidades que la media, mientras que la varianza se expresa en unidades al cuadrado, pero para mirar una distribución, puedes usar cualquiera siempre y cuando seas claro acerca de lo que estás utilizando. Por ejemplo, una distribución Normal con media = 10 y desviación estándar = 3 es exactamente lo mismo que una distribución Normal con media = 10 y varianza = 9.

Answer 2

No necesitas ambos. Cada uno tiene diferentes propósitos. La desviación estándar suele ser más útil para describir la variabilidad de los datos mientras que la varianza suele ser mucho más útil matemáticamente. Por ejemplo, la suma de distribuciones no correlacionadas (variables aleatorias) también tiene una varianza que es la suma de las varianzas de esas distribuciones. Esto no sería cierto para la desviación estándar. Por otro lado, la desviación estándar tiene la conveniencia de expresarse en unidades de la variable original.

Answer 3

Si John se refiere a variables aleatorias independientes cuando dice "distribuciones no relacionadas", entonces su respuesta es correcta. Sin embargo, para responder a su pregunta, hay varios puntos que se pueden agregar:

1. La media y la varianza son los dos parámetros que determinan una distribución normal.

2. La desigualdad de Chebyshev limita la probabilidad de que una variable aleatoria observada esté dentro de $k$ desviaciones estándar de la media.

3. La desviación estándar se utiliza para normalizar estadísticas para pruebas estadísticas (por ejemplo, la desviación estándar conocida se utiliza para normalizar una media de muestra para la prueba $z$ de que la media difiere de $0$ o la desviación estándar de la muestra se utiliza para normalizar la media de la muestra cuando la verdadera desviación estándar es desconocida, lo que resulta en la prueba $t$).

4. Para una distribución normal, el $68\%$ por ciento de la distribución está dentro de $1$ desviación estándar. $95.4\%$ dentro de $2$ desviaciones estándar y más de $99\%$ dentro de $3$ desviaciones estándar.

5. El margen de error se expresa como un múltiplo de la desviación estándar de la estimación.

6. La varianza y el sesgo son medidas de incertidumbre en una cantidad aleatoria. El error cuadrático medio de una estimación es igual a la varianza + el sesgo al cuadrado.

Answer 4

La varianza de un conjunto de datos mide la dispersión matemática de los datos en relación con la media. Sin embargo, aunque este valor es teóricamente correcto, es difícil de aplicar en un sentido real porque los valores utilizados para calcularlo fueron elevados al cuadrado. La desviación estándar, al ser la raíz cuadrada de la varianza, proporciona un valor que está en las mismas unidades que los valores originales, lo que hace que sea mucho más fácil de trabajar y de interpretar en conjunto con el concepto de la curva normal.

Answer 5

En cuanto a la distribución, son equivalentes (aunque obviamente no intercambiables), pero ten en cuenta que en cuanto a los estimadores no lo son: la raíz cuadrada de una estimación de la varianza NO es un estimador (no sesgado) de la desviación estándar. Solo para un número moderadamente grande de muestras (y dependiendo de los estimadores) los dos se acercan entre sí. Para tamaños de muestra pequeños, necesitas conocer la forma paramétrica de la distribución para convertir entre ellos, lo que puede volverse ligeramente circular.