Encontrar tangentes a un círculo con una regla

Question

Hay una construcción geométrica que hace algunos años escuché y yo todavía no he averiguado por qué funciona a pesar de varios intentos. Jugando con lápiz, papel y GeoGebra me da la confianza de que sí funciona. Podría alguien que me lo explique?

Tarea: Dado un círculo y un punto fuera de ella, la construcción de las dos tangentes a la circunferencia por el punto, utilizando sólo una regla.

Solución: Dibujar tres líneas diferentes a través del punto dado, $P$ que cruzan el círculo dos veces. Deje $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ ser los seis puntos de intersección, con la misma letra que corresponde a la misma línea y el índice 1, correspondiente al punto más cercano a $P$. Deje $D$ ser el punto donde las líneas de $A_1B_2$ $A_2B_1$ se cruzan, y de manera similar a $E$ para las líneas de $B_1C_2$$B_2C_1$. Dibuja una línea a través de$D$$E$. Esta línea cumple con el círculo en dos puntos, $F$$G$. Las tangentes se $PF$$PG$.

Answer 1

Es una consecuencia del teorema de Pascal en geometría Proyectiva válido para cualquier cónica, el círculo es un caso especial. Cuando la separación tiende a cero, la secante puntos (OA_1, OA_2) se convierten en punto de tangencia $F$.

El locus, línea recta de acordes $ FG $, es una línea recta. Como una propiedad es la media armónica de los segmentos de $ (OA_1, OA_2) $ $ 2/OF = 1/OA_1 + 1/OA_2. $

Answer 2

La respuesta es porque cuando usted fija una línea a través de $P$ que cruza el círculo de la $A_1$ $A_2$ y varían de una segunda línea y, por tanto, sus puntos de intersección $B_1$$B_2$, el punto de $E$ definido por usted varía en una línea.

Esto debería ser bastante fácil y aburrido para comprobar con geometría analítica.

Me molesta demasiado que no puedo ver la razón en algunos índices o alguna de esas, aunque.