¿Proj inducir a una cierta equivalencia de categorías que implican gradual de los anillos?

Question

El opuesto de la categoría de los anillos es equivalente a la categoría de afín a sistemas, a través de la Especificación functor.

Hay un resultado similar si consideramos que el Proyecto de construcción, que lleva un anillo graduado y devuelve algún sistema?

Esta es una pregunta de un novato en la geometría algebraica, tratando de entender cómo las cosas encajan.

Answer 1

Esta pregunta es más de un año de edad, pero tengo una perspectiva diferente que podrían ser de interés para usted.

Como otros han señalado, $\text{Proj}$ no es ni siquiera un functor, digamos totalmente fiel, pero lo hace a través de un factor de equivalencia en el siguiente sentido. Un $\mathbb{Z}$-calificación en un ring $A$ es el mismo como una acción del grupo multiplicativo $\mathbb{G}_m$$\text{Spec } A$. Homomorphisms graduales de los anillos corresponden a $\mathbb{G}_m$-equivariant morfismos de esquemas. Por lo $\text{Spec}$ induce una equivalencia de graduado anillos para afín a los esquemas de con $\mathbb{G}_m$-acción.

Pero $\text{Proj}$ sólo está definida en nonnegatively gradual de los anillos. Llamar a un $\mathbb{G}_m$-acción en el esquema de $X$ contratante si se extiende a una acción de la multiplicativo monoid $\mathbb{A}^1$. Intuitivamente, esto significa que el $\mathbb{G}_m$-acción contratos $X$ en su punto fijo locus $X^{\mathbb{G}_m}$. A continuación, un anillo graduado $A$ es nonnegatively clasificada si y sólo si el correspondiente $\mathbb{G}_m$-acción en $\text{Spec } A$ es contratantes.

Por lo que podemos interpretar $\text{Proj}$ como una construcción que se basa en un esquema a partir de un esquema afín con el contratante $\mathbb{G}_m$-acción. Es decir, se envía a $X$ a la GIT cociente $(X \setminus X^{\mathbb{G}_m})//\mathbb{G}_m$.

El fracaso de functoriality es debido al hecho de que una de morfismos $X \to Y$ puede enviar puntos en $X \setminus X^{\mathbb{G}_m}$ a puntos en $Y^{\mathbb{G}_m}$. También hay una cierta pérdida de información, ya que cualquier valor distinto de cero poder de la $\mathbb{G}_m$-acción produce el mismo GIT cociente: esta es la Veronese cosas.

Answer 2

Desafortunadamente, no existe. Como Mariano señala, no isomorfos de los anillos podría pasar a tener isomorfo Proj. Sin embargo, el mayor problema es señalado por Alex: Proj no es ni siquiera un functor, a menos que se agregue algunas restricciones. El problema es que ya se ilustró en el nivel de espacios vectoriales. Si $V \to W$ es un mapa de espacios vectoriales, no se obtiene un mapa de $P(V) \to P(W)$ a partir de ella, a menos que sea una inyección. De hecho, ¿por dónde te gustaría enviar líneas en el núcleo?