Algunas pruebas de las propiedades de un determinado mapeo sobre grupos

Question

Es la primera vez que uso Stack Exchange, pero parece un buen recurso. Estoy aquí para hacer un par de preguntas sobre mi tarea. Estamos trabajando con la última edición de Álgebra abstracta por Herstein. Este es el problema nº 3 de la página 73 de ese libro, y dice lo siguiente:

Dejemos que $G$ sea un grupo cualquiera y $A(G)$ el conjunto de todos los mapeos 1-1 de $G$ como un conjunto, sobre sí mismo. Definir $L_{a} \colon G \to G$ por $L_{a}(x)=xa^{-1}$ . Demuestra que:
(a) $L_{a} = A(G)$ .
(b) $L_{a}L_{b} = L_{ab}$ .
(c) La cartografía $\psi:G \rightarrow A(G)$ definido por $\psi(a) = L_{a}$ es un monomorfismo de G en A(G).

Creo que he respondido correctamente a las partes b y c, pero tengo algunas dudas sobre la rigurosidad de mis planteamientos en los tres problemas. Empezaré aquí incluyendo mi propuesta de solución a la parte a. Cualquier consejo o comentario será muy apreciado.

(a) $A(G)$ como el conjunto de todos los mapeos 1-1 de $G$ sobre sí mismo, puede representarse como el conjunto de todas las operaciones sobre un elemento $x \in G$ de manera que el resultado esté también en $G$ . Desde $G$ es un grupo, sabemos que este conjunto puede representarse como el conjunto de todas las multiplicaciones de grupos $yx \mid x \in G, y \in G$ para un elemento determinado $x$ . Esto se debe a que cualquier $x$ puede fijarse como primer parámetro, mientras que el elemento $y$ se toman sobre cada elemento de G. Tenemos entonces que $yx \in G$ debido al cierre de G bajo la multiplicación de grupos. Además, cualquier elemento $e \in G$ tiene un elemento inverso $e^{-1} \in G$ , ya que $G$ es un grupo. Esto significa que podemos considerar cualquier elemento de $G$ como la inversa de su inversa: $e = (e^{-1})^{-1}$ . Esto, cuando se introduce para nuestra variable $x \in G$ arriba, nos da que $\forall x \in G, \forall y \in G, yx^{-1} \in G$ . Este es exactamente nuestro mapeo dado $L_{a}$ arriba, con las etiquetas reordenadas. Esto muestra que $L_{a}$ es un mapeo de $G \rightarrow G$ según sea necesario. Para mostrar por qué este conjunto contiene cada uno de estos mapeos posibles, supondremos que existe un mapeo $M_{a}(x) : G \rightarrow G$ tal que $M_{a}(x) \notin L_{a}$ . Este mapeo, como mapeo de G a G, debe tomar la forma de una multiplicación de grupos: $M_{a}(x) = x*a, x\in G$ . Sin embargo, como G es un grupo, tenemos de nuevo que $a = (a^{-1})^{-1}$ o, si dejamos que $m = a^{-1}$ que $a = m^{-1}$ por lo que nuestro mapeo se puede reescribir como $M_{a}(x) = x*m^{-1} m \in G$ . Sin embargo, este es exactamente el mismo mapeo que nuestro anterior $L_{a}(x)$ mostrando que todo mapeo en $A(G)$ puede escribirse como una multiplicación entre algún elemento $x \in G$ y la inversa de otro elemento $a^{-1} \in G$ y, por tanto, que $L_{a} \in A(G)$ . $\blacksquare$

Gracias por tomarte el tiempo de revisar esto, aunque no sientas que puedes ofrecer ninguna ayuda. EDITAR : Gracias a los que me señalaron que había utilizado =, no $\in$ , arriba por error. También se agradece la edición para poner en cursiva mis variables. Ahora sé cómo hacerlo también :)

EDITAR : Las respuestas hasta ahora han sido tan útiles, que me gustaría poner las otras dos partes de mi solución para solicitar comentarios sobre ellas también. Espero que no sean tan confusas como la primera parte.
se ha modificado un poco en respuesta a los comentarios
(b) $L_{a}(x) = xa^{-1}$
$L_{b}(x) = xb^{-1}$
$(L_{a}L_{b})(x) = L_{a}(L_{b}(x))$
$L_{a}(L_{b}(x)) = L_{a}(xb^-1)$
$L_{a}(xb^-1) = xb^{-1}a^{-1}$
$xb^{-1}a^{-1} = x(ab)^{-1} = L_{ab}(x)$
$L_{a}(x)L_{b}(x) = L_{ab}(x) \quad\blacksquare$

(c) $\psi(a) = L_{a}(x) = xa^{-1}$ . Para demostrar que este mapeo es un monomorfismo de $G$ en $A(G)$ En primer lugar, nos basaremos en la parte (a) para afirmar que $\psi(a) = L_{a}$ es efectivamente un mapeo de $G$ a $A(G)$ . Ahora debemos demostrar que $\psi$ es un monomorfismo de $G$ en $A(G)$ . Primero demostraremos que $\psi$ es un homomorfismo de $G$ en $A(G)$ . Para ello, apelaremos a los resultados de nuestros cálculos en la parte (b) para afirmar que $L_{a}L_{b} = L_{ab}$ lo que implica, por supuesto, que $\psi(a)\psi(b) = L_{a}L_{b} = L_{ab} = \psi(ab)$ lo que demuestra que $\psi$ es un homomorfismo. Para continuar y demostrar que $\psi$ es un monomorfismo, debemos demostrar que es un mapeo inyectivo (1-1). Sea $\psi(a) = Z = \psi(b)$ . Esto se puede escribir como: $\psi(a) = L_{a}(e) = ea^{-1} = Z$
$\psi(b) = L_{b}(e) = eb^{-1} = Z$
$Z = ea^{-1} = eb^{-1}$
$a^{-1} = b^{-1} \Rightarrow a = b$
La última línea de lo anterior se deduce de la unicidad de los elementos inversos en $G$ . Esto demuestra que la única manera de que dos valores de salida de $\psi$ para ser iguales es que sus entradas sean también iguales, y por lo tanto $\psi$ es un homomorfismo inyectivo, o un monomorfismo de $G$ a $A(G)$ . $\blacksquare$

Answer 1

Me preocupa un poco lo que escribes, ya que no estoy seguro de qué es lo que intentas decir.

Parece que intenta demostrar que si $f\in A(G)$ entonces $f=L_a$ para algunos $a$ primero, nadie te pide que demuestres que . Y segundo, parece que no lo haces. Y tercero, lo que escribes, $L_a=A(G)$ ¡ni siquiera tiene sentido! $L_a$ es una función de $G$ a sí mismo; $A(G)$ es un conjunto de funciones de $G$ a sí mismo. Usted está tratando de demostrar que una sola función es igual a un conjunto de funciones. Eso va a ser bastante difícil de hacer...

Supongamos que $f\colon G\to G$ es una función (teórica de conjuntos) 1-1.

Es es es cierto que para cada $y\in G$ , ya que $f(y)\in G$ por hipótesis, y como en un grupo siempre podemos resolver cualquier ecuación de la forma $ay=b$ podemos encontrar algunos $x$ , *que depende de $y$ *, de manera que $f(y) = yx$ . Cependant en general, diferentes $y$ requerirá diferentes $x$ s con la misma función $f$ .

Por lo tanto, no veo cómo se puede afirmar simplemente, como se hace cuando se escribe:

Como G es un grupo, sabemos que este conjunto puede representarse como el conjunto de todas las multiplicaciones de grupos $yx | x\in G,y\in G$ para un elemento determinado $x$ .

De hecho, esta afirmación es errónea: supongamos que toda biyección $f\colon G\to G$ es efectivamente de la forma $f(y)=yx$ para algunos $x$ . Entonces $f(e) = ex = x$ Así que para cada $y$ tendríamos $f(y)=yf(e)$ . Es muy fácil ver que esto no puede ser cierto para la mayoría de los grupos, porque si se tiene cualquier biyección $G\to G$ se puede componer con una función que transponga $e$ y $x\neq e$ que no tiene orden $2$ y aún así obtener una biyección. Esta composición será una biyección, pero mapeará $e$ a $xf(e)$ pero $x$ no se asignará a $x^2f(e)$ sino a $f(e)$ . Por lo tanto, no todas las funciones de $A(G)$ puede ser de la forma $L_x$ para algunos $x$ . El resto del párrafo es, en mi opinión, un gran embrollo.

En cualquier caso, no se le pide que lo demuestre. Se le pide que demuestre que si $a\in G$ , entonces el mapa $L_a\colon G\to G$ es un elemento de $A(G)$ . Es decir, hay que demostrar que $L_a$ es una biyección de $G$ en sí mismo. Usted es dado que $L_a$ es una función de $G$ a $G$ Así que lo que tienes que demostrar es que $L_a$ es uno a uno y sobre.

(Como nota, su intento de argumentar sobre una función $M_a$ que no es uno de los $L_a$ también sale con el pie izquierdo; si se quisiera demostrar por contradicción que cada elemento de $A(G)$ es algunos $L_a$ , habría que empezar por suponer que existe una función $M$ en $A(G)$ tal que * por cada $b\in G$ * tenemos $M\neq L_b$ ; sólo supones que $M\neq L_a$ para un determinado $a$ y eso no es bueno).

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Añadido. La penúltima línea de la parte (b) debería tener $L_{ab}(x)$ no $L_{ab}$ . Por lo demás, es correcto.

La primera línea de (c) es incorrecta. $L_a(x)$ es un elemento de $G$ (A saber, $xa^{-1}$ ). Pero $\psi(a)$ es un elemento de $A(G)$ (A saber, $L_a$ ). $\psi(a)$ no es igual a $L_a(x)$ .

No es necesario demostrar que $\psi$ es un mapa de $G$ a $A(G)$ Es decir, es definido para ser un mapa de $G$ a $A(G)$ . Esto se deduce de (a), ya que sabes, si haces (a) correctamente, que $L_a\in A(G)$ para cualquier $a\in G$ .

Varias veces confundes la función $L_a$ con el valor de la función en $x$ , $L_a(x)$ . Recuerde que " $x$ "es uno de los nombres de los elementos de $G$ : no lo utilices como si esto fuera cálculo y llamaras a la función " $f(x)$ ¡"! El nombre de la función es simplemente $L_a$ no $L_a(x)$ .

Demuestras correctamente que es un homomorfismo.

Para demostrar que es 1-1, en realidad no estás haciendo una prueba por contradicción, estás haciendo una prueba directa: estás demostrando que si $\psi(a)=\psi(b)$ entonces $a=b$ . Este es un prueba directa hazlo como una prueba directa. Pero la línea justo después de que usted de nuevo cometer el faux pas de confundir la función $\psi(a)$ con el valor particular de $\psi(a)$ en el elemento $x$ . $\psi(a)$ no es igual a $xa^{-1}$ y $\psi(b)$ no es igual a $xb^{-1}$ .

En cambio, hay que asumir que $L_a=L_b$ como funciones lo que significa que por cada $x\in G$ tienes $L_a(x)=L_b(x)$ . En que puede introducir algunos valores para $x$ y ver lo que se puede concluir. Puedo sugerir que utilice el hecho de que $L_a(e) = L_b(e)$ para concluir que $a=b$ ?

Answer 2

Vuelve a ver el problema:

La parte a) dice que $$L_a\in A(G),$$ donde el símbolo del medio denota "es un elemento de" ( ver aquí ), no $$L_a=A(G).$$ Esta última expresión no tiene sentido; $L_a$ es una función de $G$ a $G$ , mientras que $A(G)$ es una colección de funciones. Queremos demostrar que $L_a$ es un miembro de esta colección.

Answer 3

Para ser claros, $A(G)$ es el conjunto de todos los biyectiva mapas de conjuntos $G \to G$ . Este $A(G)$ es incluso un grupo bajo composición, pero un elemento de $A(G)$ no tiene que ser uno de los $L_a$ o prestar mucha atención a la estructura del grupo de $G$ . Por ejemplo, mira el grupo cíclico $G$ de orden $3$ que escribiré como $\{1, x, x^2\}$ . Puedo definir un mapa biyectivo de conjuntos $G \to G$ mediante el intercambio de $x$ y $x^2$ , fijando $1$ . Puede comprobar que no es de la forma $L_a$ .

De todos modos, lo que se quiere demostrar para (a) es que cada $L_a$ es biyectiva, y por lo tanto un miembro de $A(G)$ . Tal vez pueda encontrar un mapa inverso: qué operación deshará $x \mapsto xa^{-1}$ ? No deberías tener que buscar muy lejos.

Y tu solución para (b) tiene buena pinta. Me preocupa (c) sólo porque parece que estamos confundiendo las funciones y las fórmulas que las definen. Yo escribiría esto como Si $L_a$ y $L_b$ coinciden como mapas de conjuntos entonces en particular $L_a(1) = L_b(1)$ Así que $a^{-1} = b^{-1}$ y por lo tanto $a = b$ utilizando el hecho de que $(a^{-1})^{-1} = a$ . (O lo que te convenga).