Tengo que mostrar que el anillo de $\mathbb{Z}[X]/(X^2-1)$ no es isomorfo con $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$.
Sé que $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})^*=\{(\pm1,\pm1)\}$, así que pensé que debería estar buscando elementos que han inversos en $\mathbb{Z}[X]/(X^2-1)$ y con la esperanza de encontrar más o menos de 4. Pero no he tenido éxito, por lo que necesito sugerencias. Gracias.
Bueno, vamos a empezar con el polinomio de anillo y tratar de definir un isomorfismo para el producto anillo. El multiplicativo de identidad debe ir a la identidad multiplicativa, para empezar: \[1 \mapsto (1,1)\] La única pregunta que queda es donde $X$ va. Bien, tenemos $X^2 = 1$, lo $X$ tiene que ir a un elemento que corresponde a la identidad. Si es $(1,1)$ o $(-1,-1)$ el homomorphism no ser inyectiva, así que o $(1,-1)$ o $(-1,1)$, y que en realidad no importa que: \[X \mapsto (1,-1)\] Ahora un elemento general del polinomio anillo puede ser escrito $a + bX$ para los números enteros $a$$b$, y va a ser asignada a: \[(a + b, a - b)\] Pero la diferencia entre estas dos entradas es $2b$, por lo que nunca podemos hacer que cualquier elemento de a $\mathbb Z \times \mathbb Z$ cuyas entradas se diferencian por un número impar. En particular, la propuesta de homomorphism no golpea $(1,0)$ y no es surjective.
Un homomorphism $\mathbb{Z}[X]\to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ es equivalente a la especificación de un elemento de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$.
Un homomorphism $\mathbb{Z}[X]/(X^2-1)\to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ es equivalente a la especificación de un elemento de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ cuyo cuadrado es igual a $(1,1)$.
¿Cuáles son los elementos de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ cuyo cuadrado es igual a $(1,1)$? Sugerencia: sólo tienes $4$ posibilidades. Por lo tanto, hay $4$ homomorphisms $\mathbb{Z}[X]/(X^2-1)\to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$.
Ejercicio: Comprobar que ninguno de estos homomorphisms es surjective.
Espero que esto ayude!
El anillo de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}[X]/(X^2-X)$ tiene la propiedad universal $$\mathrm{Hom}_{\mathsf{Ring}}(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z},R) \cong \{a \in R : a^2=a\},$$ y el anillo de $\mathbb{Z}[X]/(X^2-1)$ tiene la propiedad universal $$\mathrm{Hom}_{\mathsf{Ring}}(\mathbb{Z}[X]/(X^2-1),R) \cong \{a \in R : a^2=1\}.$$ Por lo tanto, si $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}[X]/(X^2-1)$ fueron isomorfo, esto implicaría que cada anillo de $R$ tiene el mismo número de idempotents y de involuciones. Este es, por supuesto, mal, considere la posibilidad de $R=\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$ por ejemplo; este anillo ha $4$ idempotents, pero sólo $1$ involución.
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