Combinaciones lineales de variables aleatorias de Poisson
Como hemos calculado, en el momento de generación de la función de la distribución de Poisson con tasa de $\lambda$ es
$$
m_X(t) = \mathbb E E^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.
$$
Ahora, vamos a centrarnos en una combinación lineal de independiente de Poisson variables aleatorias $X$$Y$. Deje $Z = a X + b Y$. A continuación,
$$
m_Z(t) = \mathbb Ee^{z} = \mathbb E E^{t (a X + b Y)} = \mathbb E E^{t(aX)} \mathbb E E^{t ()} = m_X(a) m_Y(bt) \>.
$$
Por lo tanto, si $X$ tasa $\lambda_x$ $Y$ tasa $\lambda_y$, obtenemos
$$
m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{a} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{a} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,
$$
y esto no puede, en general, ser escrita en la forma $\exp(\lambda(e^t - 1))$ algunos $\lambda$ si $a = b = 1$.
Inversión del momento de generación de funciones
Si en el momento de generación de función existe en una vecindad de cero, entonces existe también como un complejo de valores de la función en el infinito de la tira alrededor de cero. Esto permite que la inversión por el contorno de la integración de entrar en juego en muchos de los casos. De hecho, la transformada de Laplace $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ de una variable aleatoria no negativa $T$ es una herramienta común en el estocásticos, teoría del proceso, en particular para el análisis de los tiempos de parada. Tenga en cuenta que $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ real con valores de $s$. Usted debe demostrar como un ejercicio que la transformada de Laplace siempre existe para $s \geq 0$ para no negativo de las variables aleatorias.
La inversión puede luego ser llevado a cabo a través de la Bromwich integral o en el Post de la inversión de la fórmula. Un probabilística de la interpretación de este último puede ser encontrado como un ejercicio en varias clásica de la probabilidad de textos.
Aunque no directamente relacionado, usted puede estar interesado en la siguiente nota así.
J. H. Curtiss (1942), Una nota sobre la teoría de momento la generación de funciones, Ann. De matemáticas. Stat., vol. 13, no. 4, pp 430-433.
La teoría asociada es más comúnmente desarrolladas para las funciones características, ya que estos son completamente general: existen para todas las distribuciones, sin el apoyo o el momento de restricciones.
