El problema de Riemann-Lebesgue lema

Question

Deje $f$ ser una función integrable sobre $[a,b]$. Probar que: $$\lim_{n \rightarrow \infty } \int _a ^b f(x)|\sin(nx)| dx= \frac {2}{\pi} \int _a^b f(x) dx.$$

Answer 1

Basado en las sugerencias dadas por Alex Becker, podemos obtener un mayor resultado general: Si $f$ es integrable en a $[a,b]$,que es un delimitada intervalo cerrado, y $g$ es integrable función periódica con período de $\rm T$, a continuación, tenemos las siguientes:

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_a^b f(x)g(nx)dx={\rm T}^{-1}\int_0^{\rm T} g(t)dt \int_a^bf(x)dx$$

(1): me muestran que la $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_a^b {\rm g}(nx)dx={\rm T}^{-1}(b-a)\int_0^{\rm T}g(t)dt $$

PRUEBA: Para cada una de las $n\in \mathbb{N}$, definir $b_n=a+\frac{{\rm T}}{n} \left[\frac{n(b-a)}{{\rm T}} \right]$. No es difícil ver que $0\le b-b_n <\frac{{\rm T}}{n}$.

$$\int_a^{{b_n}} g (nx)dx = \sum\limits_{k = 1}^{\left[ {\frac{{n(b - a)}}{{\rm T}}} \right]} {\int_{a + (k - 1)\frac{{\rm T}}{n}}^{a + k\frac{{\rm T}}{n}} g } (nx)dx$$

$$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^{\left[ {\frac{{n(b - a)}}{{\rm T}}} \right]} {\int_{na + (k - 1){\rm T}}^{na + k{\rm T}} g } (y)dy = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^{\left[ {\frac{{n(b - a)}}{{\rm T}}} \right]} {\int_0^{\rm T} g } (y)dy$$

(puesto que la integral de una función periódica a lo largo de su periodo es el mismo)

$$\int_a^{b_n} g(nx) dx=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\left[\frac{n(b-a)}{{\rm T}}\right]}\int_{0}^{{\rm T}} g(y)dy =\frac{1}{n}\left[\frac{n(b-a)}{{\rm T}}\right]\int_0^{\rm T}g(t)dt$$

Desde $$\left|\int_a^bg(nt)dt-\int_a^{b_n}g(nt)dt \right|\le (b-b_n)M \le \frac{{\rm T}}{n} M$$ where $$M=\sup|g(x)|$$

por lo $$\lim_{x\rightarrow \infty} \int_a^bg(nx)dx=\lim_{x\rightarrow \infty} \int_a^{b_n}g(nx)dx={\rm T}^{-1}(b-a)\int_0^{\rm T} g(t)dt $$

(2): muestro $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_a^b f(x)g(nx)dx={\rm T}^{-1}\int_0^{\rm T} g(t)dt \int_a^bf(x)dx$$ for any step function $f$.

PRUEBA: Este resultado se sigue de (1) fácilmente.

(3): demuestro $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_a^b f(x)g(nx)dx={\rm T}^{-1}\int_0^{\rm T} g(t)dt \int_a^bf(x)dx$$ para cualquier función integrable.

PRUEBA: Dado $\delta >0$, ya que el $f$ es integrable, podemos encontrar una función de paso de $h$ tal que $\displaystyle \int_a^b|f-h|<\delta$.

$$\eqalign{ & \left| {\int_a^b f (x)g(nx)dx - {T^{ - 1}}\int_0^T g (t)dt\int_a^b f (x)dx} \right| \leqslant \cr & \left| {\int_a^b f (x)g(nx)dx - \int_a^b h (x)g(nx)dx} \right| + \left| {\int_a^b h (x)g(nx)dx - {T^{ - 1}}\int_0^T g (t)dt\int_a^b h (x)dx} \right| \cr & + \left| {{T^{ - 1}}\int_0^T g (t)dt\int_a^b f (x)dx - {T^{ - 1}}\int_0^T g (t)dt\int_a^b h (x)dx} \right| < \left( {M + 1 + {T^{ - 1}}\int_0^T g (t)dt} \right)\delta \cr} $$

para todos los $n\ge N$($N$ existen por (2)),y desde $\delta>0$ es arbitrario así

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_a^b f(x)g(nx)dx=T^{-1}\int_0^Tg(t)dt \int_a^bf(x)dx$$

Answer 2

Sugerencia: Probar el teorema para funciones características de los intervalos, a continuación, probar el teorema para el paso de las funciones. Aproximado de funciones integrables con el paso de las funciones y aplicar un teorema de convergencia.