Origen de la palabra / significado de "kernel" en álgebra lineal

Question

Puede que sea la pregunta más tonta jamás formulada en math.SE, pero...

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Dada una matriz real $\mathbf A\in\mathbb R^{m\times n}$ El espacio de la columna se define como $$C(\mathbf A) = \{\mathbf A \mathbf x : \mathbf x \in \mathbb{R}^n\} \subseteq \mathbb R^m.$$

A veces se le llama imagen o gama .

• Me parece bien el nombre "espacio de la columna" porque $C(\mathbf A)$ es el conjunto de todos los posibles combinaciones lineales de $\mathbf A$ de los vectores columna.
• Me parece bien el nombre de "imagen" porque si considero $\mathbf A \mathbf x$ como función entonces $C(\mathbf A)$ es la función imagen (el subconjunto de las funciones codominio ).
• Me parece bien el nombre de "gama" porque puedo considerar $C(\mathbf A)$ como gama de una función $f(\mathbf x) = \mathbf A \mathbf x$ .

Desafortunadamente, no estoy contento con el nombre núcleo . $$\ker(\mathbf A) = \{\mathbf x: \mathbf A\mathbf x = \mathbf 0\}\subseteq \mathbb R^n$$

El núcleo se llama a veces espacio nulo y puedo entender bastante bien de donde vino este nombre -- es porque este conjunto contiene todos los elementos en $\mathbb R^n$ que son asignados a cero por $\mathbf A$ .

Entonces, ¿por qué se llama "núcleo"? ¿Algún antecedente histórico o significado coloquial que se me haya escapado por completo?

Answer 1

La palabra núcleo significa "semilla", "núcleo" en lenguaje no técnico (etimológicamente: es el diminutivo de maíz ). Si lo imaginamos geométricamente, el origen es el centro, más o menos, de un espacio euclidiano. Se puede concebir como el núcleo del espacio. Se puede racionalizar la nomenclatura diciendo que el núcleo de una matriz consiste en aquellos vectores del espacio de dominio que se mapean en el centro ( es decir el origen) del espacio de alcance.

Creo que un razonamiento algo análogo podría motivar la designación "núcleo" en la teoría de juegos cooperativos: Denota un conjunto particular que es de interés central. (En este caso, denota -en términos generales- el conjunto de tales asignaciones entre un número determinado de personas que no pueden ser anuladas por la colusión entre algunas de ellas. Esta propiedad confiere al núcleo un sentido de estabilidad y equilibrio, y por eso es tan interesante).

Answer 2

Las imágenes son coherentes con las ecuaciones no homogéneas $Ax = b$ donde los grados de libertad en la respuesta son los de $Ax = 0$ y este último podría considerarse como el núcleo invariable del problema separado de las particularidades de los diferentes $b$ (para algunos valores hay soluciones, para otros no puede haberlas).

No puedo decir si este fue realmente el origen histórico. Por supuesto, tiene sentido para los homomorfismos de grupo.

Answer 3

Como menciona @triple_sec se puede decir que

el núcleo de una matriz está formado por aquellos vectores del espacio de dominio que se mapean en el centro (es decir, el origen) del espacio de alcance.

Son aquellos vectores que después de sufrir una transformación, se aplastan en un vector cero porque el determinante = 0. (Eso significa que la región se aplasta en un volumen 0); Estos vectores también se llaman variables libres o columnas no pivotantes;

N(A) = N(RREF(A))

El núcleo de una transformación es igual al núcleo de RREF de la transformación. Es decir, los vectores que se aplastan en un RREF o en la matriz original van a ser iguales. Los pivotes nos ayudan a definir el sistema de ecuaciones en formas reducidas. El espacio nulo nos ayuda a definir la originalidad o lealtad de las ecuaciones/transformación de la matriz.

En una transformación matricial no completa, digamos de 3D a 2D, hay un relleno de líneas de vectores que se sitúan en el origen. Una transformación de 3D a 1D tiene un plano lleno de vectores que están en el origen.

En Ax = [0] Cuando v resulta ser un vector 0, El espacio/núcleo nulo te da todas las posibles soluciones a todo el sistema de ecuaciones.