Origen de la palabra / significado de 'kernel' en álgebra lineal

Question

Puede ser la pregunta más tonta alguna vez hecha en math.SE, pero...

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Dada una matriz real $\mathbf A\in\mathbb R^{m\times n}$, el espacio columna se define como $$C(\mathbf A) = \{\mathbf A \mathbf x : \mathbf x \in \mathbb{R}^n\} \subseteq \mathbb R^m.$$

A veces se le llama imagen o rango.

• Estoy de acuerdo con el nombre 'espacio columna' porque $C(\mathbf A)$ es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores columna de $\mathbf A$.
• Estoy de acuerdo con el nombre 'imagen' porque si considero $\mathbf A \mathbf x$ como una función entonces $C(\mathbf A)$ es la imagen de esta función (el subconjunto del codominio de una función).
• Estoy de acuerdo con el nombre 'rango' porque puedo considerar $C(\mathbf A)$ como un rango de una función $f(\mathbf x) = \mathbf A \mathbf x$.

Desafortunadamente, no estoy contento con el nombre núcleo. $$\ker(\mathbf A) = \{\mathbf x: \mathbf A\mathbf x = \mathbf 0\}\subseteq \mathbb R^n$$

A veces el núcleo se llama espacio nulo y puedo entender bastante bien de dónde proviene este nombre - es porque este conjunto contiene todos los elementos en $\mathbb R^n$ que son mapeados a cero por $\mathbf A$.

Entonces, ¿por qué se llama 'núcleo'? ¿Algún antecedente histórico o significado coloquial que me haya perdido completamente?

Answer 1

La palabra núcleo significa "semilla", "núcleo" en lenguaje no técnico (etimológicamente: es el diminutivo de grano). Si lo imaginas geométricamente, el origen es el centro, más o menos, de un espacio euclidiano. Se puede concebir como el núcleo del espacio. Puedes racionalizar la nomenclatura diciendo que el núcleo de una matriz consiste en aquellos vectores del espacio de dominio que se mapean en el centro (i.e., el origen) del espacio de rango.

Creo que una justificación algo análoga podría motivar la designación “núcleo” en la teoría de juegos cooperativos: Denota un conjunto en particular que es de interés central. (En este caso, denota, hablando de forma general, el conjunto de asignaciones entre un número dado de personas que no pueden ser cambiadas por una coalición entre algunas de ellas. Esta propiedad confiere al núcleo un sentido de estabilidad y equilibrio, por eso es tan interesante.)

Answer 2

La imaginería es consistente con ecuaciones no homogéneas $Ax = b$ donde los grados de libertad en la respuesta son los de $Ax = 0$ y esto último se podría ver como el núcleo invariante del problema separado de las particularidades de diferentes $b$ (para algunos valores hay soluciones, para otros no puede haber soluciones).

Si esto realmente fue el origen histórico no puedo decirlo. Por supuesto tiene sentido para homomorfismos de grupo.

Answer 3

Como mencionado por @triple_sec se puede decir que

el núcleo de una matriz consiste en aquellos vectores del espacio de dominio que son mapeados en el centro (es decir, el origen) del espacio de rango.

Estos son aquellos vectores que, después de someterse a una transformación, se aplastan en un vector cero porque el determinante = 0. (Eso significa que la región se aplasta en un volumen de 0); Estos vectores también se llaman variables libres o columnas no pivote;

N(A) = N(FILA REDUCIDA ECHALONADA(A))

El núcleo de una transformación es igual al núcleo de la fila reducida echalonada de la transformación. Es decir, los vectores que se aplastan en una fila reducida echalonada o en la matriz original van a ser iguales. Los pivotes nos ayudan a definir el sistema de ecuaciones en formas reducidas. El espacio nulo nos ayuda a definir la originalidad o fidelidad de las ecuaciones/transformación de la matriz.

En una transformación de matriz de rango reducido, digamos de 3D a 2D, hay una línea llena de vectores que se encuentran en el origen. Una transformación de 3D a 1D tiene un plano lleno de vectores que se encuentran en el origen.

En Ax = [0] Cuando v resulta ser un vector 0, el espacio nulo/núcleo te da todas las posibles soluciones a todo el sistema de ecuaciones.