Homomorfismo grupal inducido $ \text {SL}_n( \mathbb {Z}) \twoheadrightarrow \text {SL}_n( \mathbb {Z}/m \mathbb {Z})$ ¿Supuesto?

Question

Deje que $n, m > 1$ . El mapa $ \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z}/m \mathbb {Z}$ de reducción mod $m$ induce un homomorfismo de grupo $F: \text {SL}_n( \mathbb {Z}) \to \text {SL}_n( \mathbb {Z}/m \mathbb {Z})$ . Mi pregunta es, es $F$ ¿Supuesto o no?

Answer 1

Esto resultó ser un no ejemplo . Lo dejo para la posteridad como respuesta de CW.

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Resulta que la respuesta es no. El menor contraejemplo que se me ocurre es el siguiente: observamos que $$ \pmatrix{2&1&1\\1&2&1\\1&1&2} \in SL_n(\Bbb Z/3\Bbb Z) $$ Sin embargo, esta matriz no es el mod $3$ de cualquier elemento de $SL_n(\Bbb Z)$ .