La Teoría de números y Geometría/Varias Variables Complejas

Question

Esta es una pregunta para todos los que el número de teóricos de la...basado en mi rozando teoría de número de libros de texto y de la encuesta de artículos, parece ser que la mayoría de las aplicaciones de la geometría y complejas variables de la teoría de los números están restringidos a las superficies y a la teoría de una sola variable compleja. Mis preguntas son

1) Es esta impresión, de hecho, precisa?

y, si es así

2) ¿por Qué es esto? Es a causa de que las teorías de las superficies y de una sola variable compleja son "más fáciles"(en el sentido de que está lo suficientemente simple como para tener una sola teoría unificada,) o es que hay alguna razón más profunda? Y si el anterior es el caso, hay algunos en el fondo de las conjeturas en la teoría de números que puede ser resuelto mediante la de mayores dimensiones de la geometría/variables complejas?

Answer 1

He escuchado la teoría algebraica de números llamada "geometría algebraica en una dimensión". (O tal vez se le podría llamar aritmética geometría en una dimensión.) Hay una natural énfasis en la teoría algebraica de números en curvas elípticas, en función de los campos, etc. La razón es que la geometría algebraica en una dimensión es relativamente bien controlado, de modo que usted puede en lugar de centrarse en problemas de aritmética. Me podría describir la filosofía de esta manera, aunque no es mi área y no es mi filosofía es: Si la teoría de números es como jugar a la música, y la geometría algebraica es como malabares, entonces general de la aritmética geometría es como jugar a la música, mientras que los malabares de los instrumentos. I. e., es una gran cosa que hacer, pero combina dos problemas que ya lo suficientemente duro por separado.

En la medida en que se adopte este énfasis, tiene sentido que usted podría aprender más de curvas complejas que las de mayores dimensiones de la geometría compleja. Pero sin el uno-dimensional énfasis, no es cierto. Por ejemplo, las conjeturas de Weil son un profundo resultado de mayores dimensiones de la teoría de números, si se le puede llamar finito campos de la teoría de números, y que ambos están motivados por e informado por las mayores dimensiones de la geometría compleja. (Si la teoría de números es la música, finito campos podría ser la música principalmente en una nota. Si tuviera que hacer malabares con los instrumentos, yo podría hacer malabares con las panderetas o triángulos.)

Debo añadir que la restricción a una dimensión no es totalmente coherente visión de la geometría. Para dar dos ejemplos, si $C$ es una curva compleja de género $g > 1$, se trata de una de mayores dimensiones del espacio de moduli, y tiene una de mayores dimensiones variedad Jacobiana. Estos problemas también surgen en característica positiva. La filosofía de que la teoría algebraica de números es unidimensional está ahí, pero no es completamente en serio la filosofía, y no sólo a causa de mayores dimensiones que las generalizaciones existen. El programa de Langlands, finalmente, conduce a la opuesta a la filosofía.

Por último, también hay conexiones entre la teoría de números y colectores con tres reales dimensiones, porque el hecho de que el límite de espacio hiperbólico $\mathbb{H}^3$ es una esfera de Riemann y $\text{Isom}(\mathbb{H}^3) = \text{PSL}(2,\mathbb{C})$.

Answer 2

No, yo no diría que "la mayoría" de las aplicaciones de la algebraica y la geometría compleja a la teoría de números se limitan al caso de los espacios del complejo de dimensión 1. Una respuesta más detallada de la siguiente manera:

1) Clásica de la teoría algebraica de números y clásica de la geometría algebraica, encajan bajo la égida del esquema de la teoría. En este sentido, existe una analogía entre el anillo de enteros Z_K de un campo de número K y una afín curva algebraica C sobre un campo k: ambos son unidimensionales, normal (implica regular, aquí) integral afín esquemas de finito tipo. (La analogía es especialmente cerca de si el campo k es finita.) Mi colega Dino Lorenzini, ha escrito un muy buen libro de texto de Una Invitación a la Aritmética Geometría, que se centra en esta analogía. Yo podría argumentar que podía ser empujado aún más, por ejemplo, que los estudiantes y los investigadores deben estar familiarizados con los no-máxima de pedidos en K, ya que son con singular curvas...

2) la teoría Algebraica de números está estrechamente relacionado con la aritmética geometría: los últimos estudios de puntos racionales en geométricamente conectado variedades. Para ello es esencial para entender el "subyacente" complejo analítica del espacio, y es innegable que, por lejos, el mejor entendida caso lo que ahora es cuando este espacio tiene dimensión uno: entonces el teorema de Mordell-Weil y Faltings están disponibles. Greg Kuperberg la observación acerca de la mezcla de dos cosas que son en sí mismos no trivial es apt aquí: es ciertamente ventajoso en el estudio de la aritmética de curvas en las que la imagen compleja es así que se entiende bien: por ahora el algebraicas geómetras / superficie de Riemann teóricos de entender una sola complejo superficie de Riemann (en oposición a los espacios de moduli de superficies de Riemann) bastante bien, y esta empresa el conocimiento es muy útil en el estudio de la aritmética.

3) En la consideración de un esquema de X sobre un campo K, a menudo se "adquiere una dimensión" en la forma de pensar acerca de su geometría, porque las preguntas clave que requieren de uno a comprender los modelos de X sobre el anillo de los enteros Z_K de K. Por ejemplo, el estudio de la algebraicas número de campos como campos es el estudio de la cero-dimensional de los objetos, pero la teoría algebraica de números adecuada (por ejemplo, la ramificación, la división de los números primos) comienza cuando uno se ve a propiedades no principalmente en el campo K, pero de su Dedekind anillo de enteros Z_K.

Una consecuencia de esto es que en el moderno estudio de las curvas de más de un campo de número, uno hace uso crítico de la teoría de superficies algebraicas, o más bien de la aritmética de las superficies, pero este último es, sin duda inspirado en la antigua y le será inútil si no sabemos, por ejemplo, la teoría clásica de superficies complejas.

4) En el automorphic lado de la teoría de números estamos muy preocupados con una gran clase de Hermitian simétrica de los dominios y de sus cocientes por distintos subgrupos. Por ejemplo, Hilbert y Siegel formas modulares vienen de forma natural al estudiar la formas cuadráticas sobre un general de campo de número. Más generalmente, la teoría de Shimura variedades está jugando un papel cada vez más importante en la moderna teoría de números.

5) También la clásica teoría de Hodge (una cierta estructura adicional en el complejo cohomology grupos de un proyectiva compleja variedad) es importante el número de teóricos a través de representaciones de Galois, Mumford-Tate grupos de abelian variedades, etc.

Y así sucesivamente!

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Apéndice: Una (sólo un par de años) y mayores (nunca tanto) más sabio colega mío que aún no MO ha puesto en contacto conmigo y me pidió mencionar los siguientes papel de Bombieri:

MR0306201 (46 #5328) Bombieri, Enrico Algebraica de los valores de meromorphic mapas. Inventar. Matemáticas. 10 (1970), 267--287. 32A20 (10F35 14E99 32F05)

Él dice que es "un extremo contraejemplo a la premisa de la pregunta." Porque mi augusta institución no me da acceso electrónico a este volumen de Inventiones, me temo que ni siquiera he mirado en el papel a mí mismo, pero creo que mi colega que es relevante y bien vale la pena leer.

Edit: ahora es un MO regular: Emerton.

Answer 3

"Las dimensiones superiores de la geometría" tradicionalmente no significa que este pienso, así que esto es sólo parcialmente relevante a tu pregunta (y esto no es realmente relacionados con el análisis complejo lado); si usted ampliar su definición e incluir "la geometría algebraica en alta dimensión" o algo así, entonces tal vez esto es relevante.

El estudio de mayores dimensiones variedades/esquemas son importantes en la teoría de los números - por ejemplo, etale cohomology, estudio de Shimura variedades, estos se utilizan mucho en los aspectos de la teoría de los números que implican la $p$-ádico Langlands correspondencia, y $p$-ádico teoría de Hodge. Como yo lo entiendo, Taylor prueba de $p$-ádico local Langlands implica, en parte, el estudio de la $l$-ádico cohomology de Shimura variedades. Por lo que he leído, $p$-ádico Hodge teoría implica el estudio de etale cohomology de determinados planes y programas y la relación con las estructuras de Hodge procedentes de de Rham cohomology y cristalina cohomology de los mismos esquemas. Calabi-Yau colectores también de vez en cuando pop-up como una generalización natural de curvas elípticas - por ejemplo, en Taylor reciente trabajo de Sato-Tate conjetura. Sé que este es, probablemente, no se muy bien lo que significaba, pero estas áreas de la teoría de los números implican el estudio de "dimensiones superiores" estructuras en profundidad.