(Editado. El manejo de las derivadas de los casos no fue la correcta.)
Una composición $h(z):=f\bigl(g(z)\bigr)$ de funciones analíticas que tiene sentido siempre que $g$ es analítica en un barrio de $z_0$ $f$ es analítica en un barrio de $g(z_0)$.
Contraste esto con la composición de la alimentación de la serie $g(z):=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ con la serie de $f(w):=\sum_{j=0}^\infty b_j w^j$ sólo tiene sentido cuando se $a_0=0$, es decir, cuando se $g(0)=0$. Sólo en este caso los coeficientes de Taylor de la función de composición $h(z):=f\bigl(g(z)\bigr)$ puede ser calculado en términos finitos.
Por lo tanto, supongamos $g(0)=0$. Deje $0<R\leq\infty$ ser el radio de convergencia de la $g$de la serie, y poner
$$M_g(r):=\max_{0\leq \phi\leq 2\pi} |g(re^{i\phi}|\qquad(r<R)\ .$$
A continuación,$M_g(0)=0$, y la función de $r\mapsto M_g(r)$ es estrictamente creciente y continua. Poner $\lim_{r\to R-} M_g(r)=:\rho'\leq\infty$.
Por último, vamos a $0<\rho\leq\infty$ ser el radio de convergencia de la $f$de la serie.
Si $\rho\geq\rho'$ $|g(z)|<\rho$ todos los $z\in D_R$, y de ello se sigue que $h$ es analítica en $D_R$. Por lo tanto, el radio de convergencia de la $h$-de la serie es $\geq R$.
Si $\rho<\rho'$, entonces hay un $R'<R$ tal que $M_g(R')=\rho$. De ello se desprende que $|g(z)|<\rho$$z\in D_{R'}$, y es fácil ver que en este caso el $h$-la serie tiene radio de convergencia $\geq R'$.
