Probabilidades negativas en la física cuántica

Question

Las probabilidades negativas se encuentran de forma natural en la función de Wigner (tanto en la original como en sus variantes discretas), en la paradoja de Klein (donde es un artefacto del uso de una teoría de una sola partícula) y en la ecuación de Klein-Gordon.

¿Existe un tratamiento general de tales distribuciones de cuasi-probabilidad, además de utilizar ingenuamente fórmulas probabilísticas "legítimas"? Por ejemplo, ¿existe una teoría que diga qué medidas están permitidas, para filtrar las probabilidades negativas? Además, ¿hay alguna intuición detrás de las probabilidades negativas?

Answer 1

Nunca se obtienen densidades de "probabilidad negativa" cuando se habla de observables individuales. Sólo se obtienen densidades de "probabilidad negativa" cuando se discuten distribuciones conjuntas de incompatible observables, para los que el conmutador es distinto de cero (porque toman valores negativos, son no densidades de probabilidad). Por lo tanto, para evitar por completo las densidades de probabilidad negativas, sólo discuta las densidades de probabilidad conjuntas de los observables compatibles.

Hay algunos estados en los que algunos los pares de observables incompatibles resultan, no obstante, en distribuciones de valor positivo. Los ejemplos más conocidos son los estados coherentes, para los que la función de Wigner es positiva-definida. Sin embargo, esto no se extiende a todos los observables posibles, de modo que en un estado coherente no todos los pares de observables incompatibles dan lugar a densidades de probabilidad conjuntas definidas positivamente.

El hecho de que no existan probabilidades conjuntas para todos los estados significa que, aunque puedan existir densidades positivas-definidas para determinados observables en determinados estados, generalmente se considera que es demasiado llamar densidad de probabilidad a cualquier densidad conjunta positiva-definida que pueda darse en una clase especial de estados sólo porque sea positiva-definida.

Hay una forma bastante general de construir un objeto que sea siempre positivo-definido a partir de una función de Wigner, que es promediándola sobre una región suficientemente grande del espacio de fase. A lo largo de los años se han hecho muchos intentos de hacer esto de forma matemáticamente general. Personalmente me gusta el enfoque de Paul Busch (con varios colaboradores), cuyo sitio web enumera dos monografías que lo hacen muy bien:

La teoría cuántica de la medición
Paul Busch, Pekka Lahti, Peter Mittelstaedt. Springer-Verlag, Berlín
Lecture Notes in Physics, Vol. m2, 1991; 2ª ed. 1996
Física Cuántica Operativa
Paul Busch, Marian Grabowski, Pekka Lahti. Springer-Verlag, Berlín
Lecture Notes in Physics, Vol. m31, 1995; impresión corr. 1997

No obstante, estoy seguro de que otras personas tienen otras preferencias. Para algunos es una forma de conciliar lo cuántico con lo clásico, para otros no.

Hay una forma rápida y sucia de ver la relación entre la incompatibilidad y la definición positiva de las densidades de probabilidad conjuntas putativamente positivas, que se puede encontrar en un artículo de Leon Cohen, "Rules of Probability in Quantum Mechanics", Foundations of Physics 18, 983(1988). Suelo sacar esto a relucir con bastante frecuencia, aunque rara vez se cita en la literatura porque no es una matemática muy bonita, porque es una matemática muy elemental y porque influyó mucho en mi comprensión de la MC hace mucho tiempo (lo cité aquí , por ejemplo, para una pregunta no muy relacionada).

Answer 2

Como señaló Ernesto en su comentario He respondido a tu primera pregunta aquí (que fue actualizado en el arXiv y publicado muy recientemente).

En cuanto a la pregunta sobre la intuición que hay detrás de las probabilidades negativas, aquí está mi advertencia si no tienes ya la titularidad: no vayas por ahí. Como señaló Feynman (y Dirac mucho antes) las probabilidades negativas son un medio para conseguir un fin. ¿Qué fin? Pues la probabilidad normal, por supuesto.

Answer 3

Un poco a la izquierda, pero puede ser de interés. Si quiere considerar un escenario más abstracto, el siguiente artículo es interesante desde el punto de vista de los fundamentos:

R. W. Spekkens, ''La negatividad y la contextualidad son nociones equivalentes de no clasicidad''

Relaciona una generalización de la función de Wigner con una generalización de las teorías de variables ocultas no contextuales. Demuestra que incluso la estructura en el nivel operacional, más de caja negra, da lugar a distribuciones de cuasi-probabilidad.

Answer 4

Hay dos trabajos de Feynman sobre las probabilidades negativas. Es difícil añadir algo a eso, si se busca una introducción al tema.

R. P. Feynman, Probabilidad negativa en Implicaciones cuánticas: Ensayos en honor a David Bohm editado por B. J. Hiley y F. D. Peat (Routledge and Kegan Paul, Londres, 1987), Cap. 13, pp 235 - 248.

R. P. Feynman, Simulación de la física con ordenadores (Capítulo 6), Int. J. Theor. Phys., 21, 467 - 488 (1982).

Answer 5

Ejercicio rápido de pop. Se tiene una variable aleatoria X con el espacio de resultados $\{0,\,1\}$ . La probabilidad para X=1 es $10^{100}+1$ y la probabilidad para X=0 es $-10^{100}$ . ¿Cuál es la media? $$\langle X \rangle = 10^{100} +1 \gg 1$$ ¿Cuál es la varianza? $$Var(X)=-10^{200}-10^{100}<0$$ ¡¡¡Varianza negativa!!!