Qué $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_n\ln(P_n)}$ convergen a la proporción áurea?

Question

La suma de $\displaystyle\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)}$ no converge.

Pero la suma de $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_n\ln(P_n)}$ donde $P_n$ indica el $n$th el primer número parece ser.

Es eso correcto, y si es así, ¿cómo podemos calcular el valor de la convergencia?

Es posible que esta suma converge a la proporción áurea ($\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$)?

Answer 1

Con $P_n \approx n \ln(n)$, debemos tener $$\sum_{N}^\infty \dfrac{1}{P_n \ln(P_n)} \approx \int_N^\infty \dfrac{dx}{x \ln(x)^2} = \dfrac{1}{\ln N}$$ Si la suma de$n$$\pi(19999999) = 1270607$$1.57713$, sería de esperar el resto acerca de $.071$, lo que podría empujar el total a alrededor de $1.648$, demasiado alto para $\phi$.

Answer 2

1.63661632335... Ver http://oeis.org/A137245 y los enlaces en el mismo (también http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_zeta_function, desplácese hacia abajo a la integral de la sección)