Si un subconjunto del plano tiene intersección abierta con cada recta, ¿es abierto?

Question

Supongamos que $U \subset \mathbb{R}^2$ es tal que $U \cap L$ está abierto en $L$ para cualquier línea $L \subset \mathbb{R}^2$ donde $L$ hereda la topología del subespacio de $\mathbb{R}^2$ (es decir. $L \cong \mathbb{R}$ ). ¿Se deduce de ello que $U$ ¿Está abierto? Sigo pensando que tengo un contraejemplo y luego cambio de opinión...

No estoy seguro de que la etiqueta de espacio vectorial topológico sea adecuada. Pensé que si la pregunta tenía una respuesta positiva, entonces podría tener algo que ver con el hecho de que cada espacio vectorial finito dimensional tiene una única topología de Hausdorff compatible con las operaciones.

Answer 1

Sea $$p_n = \left\langle \cos\frac{\pi}{2^{n+1}},\sin\frac{\pi}{2^{n+1}} \right\rangle,$$ deje $P=\{p_n:n\in\omega\}$ y que $S=\mathbb{R}^2\setminus P$ . La intersección de cualquier línea con $P$ es un singleton o un doubleton, por lo que cada línea interseca a $S$ en un conjunto abierto, pero $\langle 1,0 \rangle \in S \cap \operatorname{cl}P$ Así que $S$ no está abierto.

Cualquier secuencia convergente sin tres puntos colineales servirá.