Lebesgue integración de funciones simples

Question

Definir $f : [0,1] \to \Bbb R$ $f(x) := 0$ si $x$ es racional, y $f(x) := d^2$ si $x$ es irracional, donde $d$ es el primer distinto de cero dígitos en la expansión decimal de $x$. Demostrar que $\int_{[0,1]} f d m = 95/3$. Here $m$ es la medida de Lebesgue

Sé que $f$ es simple, pero por favor alguien puede sugerir sobre cómo proceder con este?

Answer 1

Si usted desea, usted puede pensar acerca de esta integral geométricamente. La función que describe es igual en casi todas partes a la siguiente función de paso (o debería decir, la función de la infinita repetición más estrechas escaleras; intervalos no está dibujado a escala):

Como se puede ver en la imagen, lo que nos dan para el área total bajo que el paso de la función de la infinita repetición de los pasos es:

$\sum \limits_{n = 1}^{\infty} (81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1) \cdot (.1)^{n}$

$= \sum \limits_{n = 1}^{\infty} 285 \cdot (.1)^{n}$

Desde $.1 < 1$, sabemos que esta serie converge, y converge a:

$\dfrac{\text{first term}}{1 - \text{common ratio }r} = \dfrac{285 \cdot .1}{1 - .1} = \dfrac{28.5}{.9} = \dfrac{95}{3}$, y por lo tanto el área total es de $\dfrac{95}{3}$.

Tenga en cuenta que he utilizado el hecho de que si dos funciones son iguales en casi todas partes, sus integrales son iguales.

Answer 2

Considere la posibilidad de $S_d$ a ser el conjunto de todos los irracionales $x$ números de la forma $0.0\ldots 0dp_1p_2\ldots$ como su primer no-dígito cero. Entonces podemos partición $S_d = S_d^1 \cup S_d^2\cup S_d^3\cup ...$ cuando la parte superior del índice indica en qué punto decimal el primer dígito se produce. Está claro que $m(S_d^1) = 0.1$ (se compone de las irrationls en el intervalo de $[0.d,0.d+1)$ por tanto el mismo argumento de $m(S_d^2) = 0.01$ y así sucesivamente, por lo que ya que todos ellos son disjuntas y partición de la irrationals en la unidad de intervalo de $m(S_d) = 0.1111.... = 1/9$.

Por último, desde el $f$ es constante igual a $d^2$$S_d$, la integral se convierte en:

$$\int_I f\ dm = \sum_{d=1}^9 (\int_{S_d} f\ dm) = \sum_{d=1}^9 {d^2 \over 9} = {95\over 3}$$

(el anterior argumento para demostrar que todas las $S_d$ tenían la misma medida estaba equivocado, lo siento por eso)