$R$ es un anillo con unidad, y para cada $a \in R$ existe $x \in R$ tal que $a^2x=a$ . Demostrar que $ax=xa$ .

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo con unidad. Para cada $a \in R$ existe $x \in R$ tal que $a^2x=a$ . Demostrar que $ax=xa$ .

Sé que $R$ no tiene elementos nilpotentes no nulos y $axa=a$ .

Así que traté de demostrar que

$$(ax-xa)^2=0$$

pero no he podido demostrarlo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Paso 1: convencerse de que $xaa=a$ también. Puedes utilizar la misma estrategia aquí: $(a-xaa)^2=0$ .

Paso 2: sigue tu idea aprovechando el hecho de que el anillo no tiene elementos cuadrados a cero y llega a $(ax-xa)^2=ax-axxa$

Paso 3: $axxa=axx(aax)=axaaxx=axax=ax$

Paso 4: alégrate, porque esto significa que el cálculo del paso 2 termina como 0.

Answer 2

Usted ya sabe que $R$ no tiene elementos nilpotentes no nulos y $axa=a$ .

Ahora bien, como $axax=axa\cdot x=ax$ , $ax$ es idempotente. Demostramos que $ax$ está en el centro de $R$ .

Para cualquier $z\in R$ , considere el conmutador nilpotente de $ax$ y $axz$ (conmutador de $a$ y $b$ es $ab-ba$ ) \begin{align} (\underbrace{axaxz}_{axax=ax}-axzax)^2&=(axz-axzax)^2 \\ &=axzaxz-axzaxzax-\underbrace{axzaxaxz}_{axax=ax} +axzaxaxzax \\ &=axzaxz-axzaxzax-axzaxz+axzaxzax \\ &=0 \end{align} Desde $R$ no tiene elementos nilpotentes no nulos, $axz=axzax$ .

Consideremos de nuevo el conmutador nilpotente de $ax$ y $zax$ \begin{align} (zaxax-axzax)^2&=(zax-axzax)^2 \\ &=zaxzax-\underbrace{zaxaxzax}_{axax=ax}-axzaxzax+axzaxaxzax \\ &=zaxzax-zaxzax-axzaxzax+axzaxzax \\ &=0 \end{align} Así que $zax-axzax=0$ y $zax=axzax=axz$ es decir $ax$ está en el centro de $R$ .

Además $xaxa=x\cdot axa=xa$ . Así que $xa$ es idempotente. Del mismo modo, podemos demostrar que $xa$ está en el centro de $R$ .

Finalmente tenemos $$ (ax-xa)^2=axax-\underbrace{axxa}_{x\cdot xa=xa\cdot x}-\underbrace{xaax}_{aax=a}+xaxa=axax-axax-xa+xa=0 $$ Así que $ax=xa$ .