¿Puedo convertir una matriz de covarianza en incertidumbres para las variables?

Question

Tengo una unidad GPS que emite una medición de ruido a través de la matriz de covarianza $\Sigma$ :

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] $

(también hay $t$ pero ignoremos eso por un segundo).

Supongamos que quiero decirle a otra persona que la precisión en cada dirección ( $x,y,z$ ) es algún número. $\mu_x, \mu_y, \mu_z$ . Es decir, mi GPS puede darme una lectura de $x=\bar{x}\pm\mu_x$ etc. Tengo entendido que $\mu$ en este caso implica que todos los mensurandos son independientes entre sí (es decir, la matriz de covarianza es diagonal). Además, encontrar el error vectorial es tan sencillo como sumar los errores en cuadratura (raíz cuadrada de la suma de los cuadrados).

¿Qué ocurre si mi matriz de covarianza no es diagonal? ¿Existe un número simple $\mu_x^*$ que engloba los efectos de la $y$ y $z$ ¿direcciones? ¿Cómo puedo encontrar eso dada una matriz de covarianza?

Answer 1

No hay un solo número que abarque toda la información de covarianza - hay 6 piezas de información, por lo que siempre se necesitarían 6 números.

Sin embargo, hay una serie de cosas que podría considerar hacer.

En primer lugar, el error (varianza) en cualquier dirección particular $i$ viene dada por

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Dónde $\mathbf{e}_i$ es el vector unitario en la dirección de interés.

Ahora bien, si miras esto para tus tres coordenadas básicas $(x,y,z)$ entonces puedes ver eso:

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Así, el error en cada una de las direcciones consideradas por separado viene dado por la diagonal de la matriz de covarianza. Esto tiene sentido intuitivamente: si sólo estoy considerando una dirección, entonces cambiar sólo la correlación no debería suponer ninguna diferencia.

Tiene usted razón al señalar que basta con afirmar:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

No implica ninguna correlación entre esas tres afirmaciones - cada afirmación por sí sola es perfectamente correcta, pero tomadas en conjunto se ha dejado caer alguna información (correlación).

Si va a realizar muchas mediciones, cada una de ellas con la misma correlación de errores (suponiendo que ésta proceda del equipo de medición), una posibilidad elegante es girar las coordenadas para diagonalizar la matriz de covarianza. Entonces podrá presentar los errores en cada una de esas direcciones por separado, ya que ahora no estarán correlacionados.

En cuanto a tomar el "error vectorial" sumando en cuadratura no estoy seguro de entender lo que dices. Estos tres errores son errores en diferentes cantidades - no se anulan entre sí y, por tanto, no veo cómo se pueden sumar. ¿Te refieres al error en la distancia?