Cómo demostrar $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ ?

Question

¿Cómo se puede demostrar la siguiente inecuación?

$$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$$

Answer 1

De Cauchy-Schwarz

$ab+bc+ac=\sqrt{a^2}\sqrt{b^2}+\sqrt{b^2}\sqrt{c^2}+\sqrt{a^2}\sqrt{c^2} \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Sigamos adelante;

$ab+bc+ac \leq a^2+b^2+c^2$

¡Hecho!

Answer 2

$$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- ca- ab- bc\!=\!\left ( c- a \right )^{2}\!-\!\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )\!=\!\left ( c+ a- 2b \right )^{2}\!+\!{\color{Red} 3}\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )\!\geq 0$$

Answer 3

Obtenido $$\sum a^{2}- \sum ab= \left ( c+ a- 2b \right )^{2}+ 3\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )$$ asumiendo $b:=\mathsf{med}\left ( a, b, c \right ).$

Answer 4

Obtenido $$\sum a^{2}- \sum ab= \sum a\left ( a- b \right )\geq 0$$ asumiendo $a\geq b\geq 0\geq c.$