Cómo demostrar $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ ?

Question

¿Cómo se puede demostrar la siguiente inecuación?

$$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$$

Answer 1

Schur desigualdad donde $r= 0.$

Answer 2

Si $\ c> a ,a^2+c^2 \gt 2ac $ porque $\ (a-c)^2 \gt 0$ Si $\ c>b>a ,c^2+b^2/2+a^2/2 \gt ac+bc $ y $\ b^2/2+a^2/2 \gt ab $ suma de ellos $\ a^2+b^2+c^2 \gt ab+bc+ac $ Si $\ c=b \gt a $ o $\ a=b=c $ puede resolverse con la misma lógica.

Answer 3

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\ =(a, b, c)\begin{pmatrix}1&-1/2&-1/2\\-1/2& 1&-1/2\\-1/2&-1/2&1\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)$

$=(a, b, c)A\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$

Basta con demostrar $A$ es un semidefinido positivo.

De ello se deduce que el determinante menor de $A$ es uno de $1,\dfrac{3}{4},0$

Answer 4

Para $a,b,c>=0$
sabemos $(a-b-c)^2>=0$
Es decir $a^2 + b^2 + c^2 - 2 (ab + bc + ca) \ge 0$
Es decir $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$

Answer 5

Esta desigualdad puede resolverse mediante álgebra simple

tenemos la ecuación $$a^2+b^2+c^2 >= ab+ac+cb$$ multiplicar y dividir 2 en ambos lados $$\frac{2}{2}(a^2+b^2+c^2) >= \frac{2}{2}(ab+ac+cb)$$ poner la ecuación del lado izquierdo en el lado derecho $$\frac{2a^2+2b^2+2c^2 - 2(ab+ac+cb)}{2} >= 0$$ luego factorizar y multiplicar por 2 en ambos lados $$\frac{2a^2+2b^2+2c^2 - 2(ab+ac+cb)}{2} >= 0$$ $$\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2} >= 0$$ $$\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2} >= 0$$ $$2*\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2} >= 2*0$$ $$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 >= 0$$ Por tanto, la ecuación anterior es cero cuando $a=b=c$

Por lo tanto, se demuestra la desigualdad anterior