Cómo demostrar $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ ?

Question

¿Cómo se puede demostrar la siguiente inecuación?

$$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$$

Answer 1

Pruebe $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge0$

Computar lhs, dividir por dos y reorganizar.

Answer 2

Se trata de una forma específica de Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Sea $x = (a, b, c)$ y $y = (b, c, a)$ como vectores.

La desigualdad es $ | \left< x,y \right>| \le \|x\|\|y\|. $ con definición de producto interior estándar. Un buen truco para demostrar esto es utilizar un parámetro auxiliar $t,$ y ampliando $$ \| x+ty \|^2 = \left< x+ty,x+ty \right> = \|x\|^2 + 2 \left< x,y \right>t +\|y\|^2t^2.$$ Sabemos que, al ser un cuadrado, es no negativo. Por lo tanto, el discriminante del polinomio en $t$ es menor o igual que cero. Que es $\left< x,y \right>^2 - (\|x\|\|y\|)^2 \le 0.$ Sustituyendo los valores de $x$ y $y$ hará el trabajo.

Answer 3

Esto también es consecuencia de la Desigualdad de reordenación.

Answer 4

$$q := a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac12 \begin{bmatrix} a\\ b \\ c\end{bmatrix}^\top \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{bmatrix}}_{=: {\rm L}} \begin{bmatrix} a\\ b \\ c\end{bmatrix}$$

donde matriz $\rm L$ es el Laplaciano de la gráfico de ciclo con $3$ vértices, cuyos matriz de incidencia es

$${\rm C} = \begin{bmatrix} -1 & \color{blue}{1} & 0\\ 0 & -1 & \color{blue}{1} \\ \color{blue}{1} & 0 & -1\end{bmatrix}$$

Desde $\rm L = C^\top C$ obtenemos lo siguiente suma de cuadrados (SOS) descomposición

$$2q = (\color{blue}{b} - a)^2 + (\color{blue}{c} - b)^2 + (\color{blue}{a} - c)^2 \geq 0$$

que es la descomposición SOS propuesta por Mark Bennet. Desde la matriz $\rm L$ es rank- $2$ una descomposición SOS más tersa con sólo $2$ pueden encontrarse fácilmente, por ejemplo, mediante la descomposición de Cholesky.

Utilizando Macaulay2 ,

Macaulay2, version 1.16
with packages: ConwayPolynomials, Elimination, IntegralClosure, InverseSystems, LLLBases, MinimalPrimes, PrimaryDecomposition, ReesAlgebra, TangentCone, Truncations

i1 : needsPackage( "SumsOfSquares" );
--loading configuration for package "NumericalAlgebraicGeometry" from file /Users/rodrigo/Library/Application Support/Macaulay2/init-NumericalAlgebraicGeometry.m2
--loading configuration for package "Bertini" from file /Users/rodrigo/Library/Application Support/Macaulay2/init-Bertini.m2
--warning: symbol "Verbosity" in MinimalPrimes.Dictionary is shadowed by a symbol in SemidefiniteProgramming.Dictionary
--  use the synonym MinimalPrimes$Verbosity

i2 : R = QQ[a,b,c];

i3 : q = a^2 + b^2 + c^2 - a*b - a*c - b*c 

      2          2                2
o3 = a  - a*b + b  - a*c - b*c + c

o3 : R

i4 : sosPoly solveSOS q

             1    1  2    3        2
o4 = (1)(a - -b - -c)  + (-)(b - c)
             2    2       4

o4 : SOSPoly

i5 : tex o4

o5 = $\texttt{SOSPoly}\left\{\texttt{coefficients}\,\Rightarrow\,\left\{1,\,\frac{3}{4}\right\},\,\texttt{generators}\,\Rightarrow\,\left\{a-\frac{1}{2}\,b-\frac{1}{2}\,c,\,b-c\right
     \},\,\texttt{ring}\,\Rightarrow\,R\right\}$

En $\TeX$ ,

$$\texttt{SOSPoly}\left\{\texttt{coefficients}\,\Rightarrow\,\left\{1,\,\frac{3}{4}\right\},\,\texttt{generators}\,\Rightarrow\,\left\{a-\frac{1}{2}\,b-\frac{1}{2}\,c,\,b-c\right\},\,\texttt{ring}\,\Rightarrow\,R\right\}$$

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polinomios método de la suma de cuadrados macaulay2 grafo-laplaciano

Answer 5

Schur desigualdad donde $r= 0.$