¿Puede cualquier número entero puede escribirse como la suma de 8 cubos enteros?

Question

Nadie ofrece una elemental razón de prueba: $$\forall n \in {\mathbb Z} \space \exists a, b, c, d, e, f, g, h \in {\mathbb Z}$$such that$% $ $n=a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3+g^3+h^3{\rm ?}$

En otras palabras, por qué cada entero es la suma de ocho cubos enteros.

Mi primer pensamiento fue desde las diferencias entre $p^3$ y aumento de $(p+1)^3$ $p,$ esto sostendría solamente para los números enteros pequeños. Esto es incorrecto; alguien me puede decir ¿por qué?

NOTA: Esto es diferente al problema de Waring porque $n,a,b,c...$ punto no tienen que ser números naturales, para que podamos tener $27=3^3+(-1)^3+(-1)^3+(-1)^3+(-1)^3$

Answer 1

Permitiendo negativo cubos, cinco suficiente. Se sospecha que los cuatro suficiente, pero este es un problema abierto. Voy a ver si puedo encontrar el argumento para cinco, es apenas uno o dos fórmulas explícitas. Por cierto, estos son llamados los "más Fácil" Waring problemas.

No se puede encontrar en este punto, así que aquí está la sección D5 forma Richard K. Guy, Problemas sin resolver en la Teoría de números. Nota que él está permitiendo que los cubos de ser positivo, negativo o cero:

Cada número de la suma de cuatro cubos? Esto ha sido demostrado para todos los números posiblemente con la excepción de aquellos de la forma $9n \pm 4$

Parte 1: $$ 6n = (n+1)^3 + (n-1)^3 - n^3 - n^3 $$

Parte 2: $$ 6n - 2 = n^3 +(n+2)^3 - (n+1)^3 - (n+1)^3 - 2^3 $$ $$ 6n-1 = (n+1)^3 + (n-1)^3 - n^3 - n^3 - 1^3 $$ $$ 6n = (n+1)^3 + (n-1)^3 - n^3 - n^3 $$ $$ 6n+1 = (n+1)^3 + (n-1)^3 - n^3 - n^3 + 1^3 $$ $$ 6n + 2 = n^3 +(n-2)^3 - (n-1)^3 - (n-1)^3 + 2^3 $$ $$ 6n + 3 = (n-3)^3 +(n-5)^3 - (n-4)^3 - (n-4)^3 + 3^3 $$

Answer 2

1. Desde entonces la $n - n^3 = n(1-n)(1+n)$ $6 \mid (n - n^3)$ y nos podemos escribir $n - n^3 = 6k$.

2. $6k = (k+1)^3 + (k-1)^3 - k^3 - k^3$.

3. Forma 1 y 2 derivamos que $n = n^3 + (k+1)^3 + (k-1)^3 - k^3 - k^3$ $k$.