¿La diferencia esencial entre el cálculo de una variable y el cálculo multivariable es el diferencial exterior o algo más?
No hay esencialmente ninguna diferencia en el concepto de la derivada. Sigue siendo la mejor aproximación lineal a su función en cada punto. Es decir $f$ diferenciable en $x_0$ todavía significa que $$ f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)x_0 + \varphi(h), $$ para $h$ en algunos nbhd. de $0$ y $\varphi$ una función continua que tiende a $0$ en $0$ más rápido que el lineal. Excepto ahora $f'(x_0)$ es un $m \times n$ matriz llamada Matriz jacobiana y mucho más complicado de trabajar.
La primera novedad que obtenemos cuando pasamos a dimensiones superiores es la noción de derivada direccional, es decir, "cuánto $f$ cambio en la dirección de $v$ ?" En realidad ya tenemos eso en $\mathbb{R}$ Es que sólo hay una dirección (en realidad dos, pero sólo se trata de un cambio de signo), por lo que nunca se ha visto de esa manera. La noción de derivada direccional es exactamente lo que se quiere cuando se quiere generalizar más a las variedades suaves, excepto que hay que ser un poco inteligente ya que no se tiene un espacio ambiental en el que tener vectores tangentes y en su lugar se usa derivaciones (de, por ejemplo, funciones suaves).
Las integrales en múltiples variables son mucho más complicadas que la integral de Riemann habitual. Incluso cuando las funciones son continuas. Como se ha demostrado con Teorema de Fubini .
Tangencialmente relacionado con el cálculo (en realidad es más análisis, pero de todas formas están relacionados): El hecho de que $\mathbb{R}$ tiene un ordenamiento permite definir cosas como el Integral Henstock-Kurzweil . Tal extensión de la integral de Lebesgue no es posible (AFAIK) en $\mathbb{R}^n$ para $n > 1$ .
Aunque estoy de acuerdo con las observaciones sobre las derivadas, sustituyendo la integral de Riemann por la integral de Lebesgue, matemáticamente más sólida, el teorema de Fubini se mantiene bajo condiciones mínimas. Riesz y Sz.-Nagy señalan en su libro que no hay tanta diferencia entre las integrales unidimensionales y las multidimensionales.
Si se trata de construir un ordenador cuántico, hay algunos modos del sistema que hay que mantener aislados para asegurarse de que se conserva cualquier coherencia de estos modos, pero hay otros modos del sistema que se utilizan para controlar el sistema, y estos no están aislados. Esta idea también se utiliza en corrección cuántica de errores . Este proceso utiliza el control activo de ciertos modos de un sistema para suprimir la decoherencia de otros modos del sistema. Se puede estar seguro de que el sistema sigue existiendo observando los modos que no necesitan ser aislados. Una idea similar se utiliza en la construcción de un reloj lógico cuántico que es el reloj más preciso jamás construido .
La topología de $R^n$ es mucho más complicada que la topología de $R$ . Por ejemplo, un subconjunto simplemente conectado de $R$ es sólo un intervalo. Un subconjunto simplemente conectado en $R^n$ puede ser muy complicado. Esto es importante porque la conectividad simple entra como hipótesis en varios teoremas.
El límite de un intervalo en $R$ es simplemente un par de puntos (o 1 o 0 puntos si el intervalo no está acotado). Pero el límite de un conjunto abierto en $R^n$ puede ser un colector o algo más complicado. Como el teorema fundamental del cálculo requiere integrar sobre una frontera, el teorema es más complicado en varias variables. La integración sobre el límite de un intervalo en $R$ es simplemente evaluar una función en dos puntos. La integración sobre un colector es más sutil y requiere una gran cantidad de maquinaria para hacerlo formalmente.
La pregunta es demasiado amplia: la respuesta depende de a quién se le pregunte.
Lo esencial en el análisis es mirar los límites.
(1) En una variable real hay dos caminos/direcciones para estrechar un punto. En dos variables hay infinitas líneas que pasan por un punto, por lo tanto hay infinitas direcciones para estrechar un punto y además se pueden obtener resultados diferentes en otro tipo de curvas. (Creo que esto es lo que Américo Tavares quería decir con infinitas derivadas - derivadas direccionales).
(2) La integración sobre un conjunto bidimensional puede hacerse al menos de tres maneras - una integral doble o dos integraciones iteradas - que si se cumplen las condiciones del teorema de Fubini-Tonelli tiene el mismo resultado.
(3) El teorema fundamental del cálculo es un poco más difícil: el teorema de Stoke.
(4) Las ecuaciones diferenciales parciales son, en general, más difíciles que las ecuaciones diferenciales ordinarias.
(5) Además, varias variables facilitan una variable, como ejemplo aprenderás una forma fácil de calcular $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$$
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Creo que has captado la esencia de una diferencia fundamental que es el enfoque de los límites. Una cosa que he notado es que tener una norma parece ser esencial para hacer cualquier análisis. Además, los supremos e infimos forman parte de la extensión de los límites a espacios de mayor dimensión. Finalmente, los límites de las secuencias convergentes juegan un papel en la extensión de los límites a espacios de mayor dimensión.
@ToddWilcox Las normas son buenas para tener, a veces no tenemos normas en los espacios (lo que sucede sólo para los espacios vectoriales de dimensión infinita) por ejemplo $$C(0,1)\ni f \mapsto \|f\|_p =\left(\int_0^1|f(x)|^p dx\right)^{1/p} $$ es una norma para el $p\geq1$ . Para $0<p<1$ este no es el caso, pero $f\mapsto\|f\|_p^p$ es una métrica.
Las diferencias clave son que el cálculo monovariable es unidimensional y trata con escalares, mientras que el cálculo multivariable es multidimensional y trata con relaciones cartográficas utilizando vectores y matrices.
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Las matrices y los vectores no suelen comportarse como escalares.
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¿El número de variables? :-)