Entonces la pregunta es en el título. Y me refiero a denso en los números reales positivos por supuesto. De alguna manera yo no puedo comprender si esto es muy trivial o no. Los números primeros no que denso, pero hay bastante de números primos para hacer las fracciones construyen de ellos densa?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted puede establecer esto con el teorema de los números primos, que esencialmente puede ser visto al estado que, donde $p_n$ $n^{th}$ número primo $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{p_n}{n\log(n)}=1.$$ Con esto, supongamos que queremos demostrar que no es una fracción con el primer numerador y el denominador en el intervalo de $\left(\frac{1}kx,kx\right)$$k>1$. Elija algunas de $k-1>\varepsilon>0$ que vamos a utilizar más adelante para algún margen de acción. Deje $N$ ser tal que, para todos los $n>N$ hemos $$\left(\frac{p_n}{n\log(n)}\right)^2\in\left(\frac{1+\varepsilon}k,\frac{k}{1+\varepsilon}\right)$$ lo cual es posible debido al límite y ya que el cuadrado es continua y el derecho de intervalo es abierto y contiene $1$. Luego, simplemente necesita encontrar un par de $n_1$ $n_2$ mayor que $N$ satisfactorio $$\frac{n_1\log(n_1)}{n_2\log(n_2)}\in\left(\frac{x}{1+\varepsilon},x(1+\varepsilon)\right)$$ que debería ser bastante fácil de encontrar, dada la identidad que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x k \log(x k)}{k \log(k)}=x$$ lo que significa que puede elegir $n_1$ $n_2$ tener relación de cerca de $x$, y siempre y cuando sean lo suficientemente grandes, esto significa que la proporción adecuada de $n\log(n)$ demasiado cerca de los $x$. Entonces tenemos que la relación de $\frac{p_{n_1}}{p_{n_2}}$ difiere de $\frac{n_1\log(n_1)}{n_2\log(n_2)}$ por un factor en $\left(\frac{1+\varepsilon}k,\frac{k}{1+\varepsilon}\right)$, y por lo tanto el cociente de dos números primos sería en $\left(\frac{1}kx,kx\right)$, como se desee. Esto funciona en cualquier intervalo de tiempo, de ahí que los números primos son densos.
