Grupos con los grupos del automorphism finito.

Question

Un sencillo argumento muestra que para cualquier grupo finito $G$ el cardenal de $Aut(G)$ es de menos de $(|G|-1)!$. En particular, el grupo de automorfismos de un grupo finito es finito. Básicamente mi pregunta es acerca de la inversa de la declaración. Si un grupo de $G$ ha finito grupo de automorfismos, a continuación, debe $G$ ser finito ?

La respuesta a esta pregunta es no, el ejemplo de $\mathbb{Z}$ $Aut(\mathbb{Z})$ isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es un contra-ejemplo.

Por lo tanto, el uso de este, es un ejercicio fácil demostrar que para cualquier grupo finito $F$ debemos tener $Aut(\mathbb{Z}\times F)$ finito de cardenal menos de $2\times |F|\times Aut(F)$ (básicamente, $F$ es una característica de los subgrupos de $\mathbb{Z}\times F$ por lo tanto $(1,1_F)$ debe ser enviado a $(\pm 1,f)$ donde $f\in F$) que conduce a una familia de contra-ejemplos.

Ahora tome un grupo de $G$ finitos grupo de automorfismos, a continuación, $G/Z(G)$ es finito. Por lo tanto cualquier $G$ puede ser escrito como una extensión central :

$$\text{ (E) : }1\rightarrow A\rightarrow G\rightarrow F\rightarrow 1 $$

Donde $A$ es abelian y $F$ finito. Ahora vienen las preguntas reales (comentarios, críticas, respuestas parciales y las referencias son bienvenidos) :

1. Podemos tener una caracterización de los grupos de $G$ $G$ infinito abelian y $Aut(G)$ finito ?

Creo que estos grupos son isomorfos a $\mathbb{Z}\times F$ donde $F$ es de un número finito de abelian grupo. Es verdad, cuando asumimos $G$ a ser finitely generado y como para no finitely grupos generados, sé que es un hecho que $\mathbb{Q}$ tienen $\mathbb{Q}^*$ automorphism grupo. Aunque no estoy completamente seguro de que el argumento de $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ (el conjunto de raíces de la unidad de la orden de $p^k$ algunos $k$) también tiene una infinidad de automorfismos del grupo. Como para "general" no finitely generado abelian grupos que no tienen ni idea.

2. Cada grupo $G$, infinita grupo finito grupo de automorfismos, ser escrito como una extensión central $(E)$ $F$ finito, $A$ abelian con finito de automorfismos de grupo?

Claramente si 1 admite una respuesta precisa y 2 una respuesta positiva, entonces tenemos una buena forma para reducir el problema. La última pregunta es a la inversa.

3. Supongamos que un grupo de $G$ está escrito como una extensión central $(E)$ donde $F$ es finito y $A$ infinito abelian grupo finito grupo de automorfismos, entonces, se sigue que la $G$ es infinita finita grupo de automorfismos?

Por favor, tenga en cuenta que la extensión debe ser central, en particular, $G:=\mathbb{Z}\rtimes_{-1}\{\pm 1\}$ (el grupo fundamental de la botella de Klein) no es un ejemplo contrario a 3.

Answer 1

Ok gracias a la referencia dada en el comentario, me puede dar la respuesta a esas preguntas.

Primer corolario de un resultado en " V. T. NAGREBECMI. En el periódico de parte de un grupo con un número finito de automorfismos. De la muñeca. Akad. Nauk. SSSR 205 (1972). 519-521: Sol,ier Matemáticas. DoXI. 13 (1972). 953-956."

Si $G$ es un infinito abelian grupo con $|Aut(G)|<\infty$ entonces existe un subgrupo $F$ sin torsión de $G$ tal que $G=Tor(G)\oplus F$ $Tor(G)$ es un grupo finito.

Por lo tanto vemos que para contestar la pregunta 1 es suficiente para lidiar con infinidad de abelian grupos sin torsión, pero con la siguiente cita tomada de J. T. HALLETT Y K. T. HIRSCH. Torsión libre de grupos finitos automorphism grupos, I. J. Álgebra 2 (1965). 287-298., vemos que es difícil :

"no nos preocupamos con la aparentemente desesperada tarea de encontrar todos los torsión libre abelian grupos cuya automorphism grupo es un grupo finito dado"

Después de su comentario, podemos decir que 1. "es desesperada".

Sin embargo la pregunta 3 admite una respuesta. La respuesta es sí si $A$ es el centro de la $A$. La prueba va como seguir, cualquier $\phi\in Aut(G)$ induce un automorphism de $\varphi\in Aut(Z(G))$ y un automorphism $\psi\in Aut(Q)$ si $\iota$ es la inclusión de $Z(G)$ $G$ $\pi$ la proyección de $G$ a $F$ los automorfismos verificar :

$$\iota\circ\varphi=\phi\circ\iota\text{ and } \pi\circ \phi=\psi\circ \pi $$

A todo esto le da a un grupo de morfismos :

$$\mathcal{A}: Aut(G)\rightarrow Aut(Z(G))\times Aut(F) $$

Además de su kernel $Ker(\mathcal{A})$ es fácilmente visto para ser isomorfo a $Hom(F,Z(G))=Hom(F^{ab},Z(G))=Hom(F^{ab},Tor(Z(G)))$.

Suponga que $Aut(Z(G))$ es finito, a continuación, por el resultado anterior $Tor(Z(G))$ es finito por lo tanto $Ker(\mathcal{A})$ es finito y debido a $Im(\mathcal{A})$ es en un subgrupo finito, debe ser finito, así, en el conjunto de la $Aut(G)$ es finito.

Ahora la pregunta 2, no he podido encontrar un contra-ejemplo, pero debe ser falsa.