El error del logaritmo natural

Question

¿Puede alguien explicar por qué el error para $\ln (x)$ (donde para $x$ tenemos $x\pm\Delta x$) simplemente se dice que es $\frac{\Delta x}{x}$? Agradecería mucho una justificación algo rigurosa de este paso. Además, ¿es este el caso para otros logaritmos (por ejemplo, $\log_2(x)$), o cómo se haría en ese caso?

Answer 1

El análisis de error simple asume que el error de una función $\Delta f(x)$ por un error dado $\Delta x$ del argumento de entrada es aproximadamente $$ \Delta f(x) \approx \frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}\cdot\Delta x $$ El razonamiento matemático detrás de esto es la serie de Taylor y el carácter de $\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}$ que describe cómo cambia la función $f(x)$ cuando su argumento de entrada cambia un poco. De hecho, esta suposición solo tiene sentido si $\Delta x \ll x$ (ver la respuesta de Emilio Pisanty para más detalles sobre esto) y si su función no es demasiado no lineal en el punto específico (en cuyo caso la presentación de un resultado en la forma $f(x) \pm \Delta f(x)$ no tendría sentido de todos modos). Tenga en cuenta que a veces se utiliza $\left| \frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}\right|$ para evitar obtener errores negativos.

Dado que $$ \frac{\text{d}\ln(x)}{\text{d}x} = \frac{1}{x} $$ el error sería $$ \Delta \ln(x) \approx \frac{\Delta x}{x} $$

Para logaritmos arbitrarios podemos usar el cambio de la base del logaritmo: $$ \log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}\\ (\ln x = \log_\text{e} x) $$ para obtener $$ \Delta \log_b x \approx \frac{\Delta x}{x \cdot \ln b} $$

Answer 2

Si bien es apropiada en muchos contextos importantes, la respuesta de LeFitz puede fallar en una situación importante y puede llevarte por mal camino, por ejemplo, al graficar gráficos en escala logarítmica.

Más específicamente, la respuesta de LeFitz solo es válida para situaciones donde el error $\Delta x$ del argumento $x$ que estás introduciendo en el logaritmo es mucho más pequeño que $x$ en sí mismo: $$ \text{si}\quad \Delta x\ll x\quad\text{entonces}\quad \Delta\ln(x)\approx\frac{\Delta x}{x}. $$

Sin embargo, si esta condición falla, entonces el resultado también falla. La razón de esto es que el logaritmo se vuelve cada vez más no lineal a medida que su argumento se acerca a cero; en algún momento, las no linealidades ya no se pueden ignorar.

Un efecto inmediatamente notable de esto es que las barras de error en un gráfico logarítmico se vuelven asimétricas, especialmente para datos que se inclinan hacia abajo hacia cero. Por ejemplo:

(Fuente de la imagen)

Esta asimetría en las barras de error de $y=\ln(x)$ puede ocurrir incluso si el error en $x$ es simétrico. Considera, por ejemplo, un caso donde $x=1$ y $\Delta x=1/2$. Aquí observarás un valor de $$y=\ln(x+\Delta x)=\ln(3/2)\approx+0.40$$ con la misma probabilidad que $$y=\ln(x-\Delta x)=\ln(1/2)\approx-0.69,$$ aunque sus distancias al valor central de $y=\ln(x)=0$ difieren en aproximadamente un 70%. En un ejemplo más radical, si $\Delta x$ es igual a $x$ (y ni siquiera pienses en que sea aún más grande), la barra de error debería ir hasta menos infinito, ya que existe la posibilidad de que la variable medida sea negativa. (A menos, por supuesto, que estés haciendo mal tus estadísticas, y asumiendo por ejemplo una distribución simétrica de errores en una situación donde ni siquiera tiene sentido).

En términos más generales, cuando esto comienza a suceder, entonces has salido de las estadísticas gaussianas que sustentan la mayoría de las fórmulas estándar. En tales casos, a menudo hay métodos establecidos para lidiar con situaciones específicas, pero debes tener cuidado y consultar a tu estadístico residente cuando tengas dudas.

Si solo quieres barras de error aproximadas, sin embargo, un método bastante confiable es dibujarlas entre $y_\pm=\ln(x\pm\Delta x)$. Si sabes que hay alguna probabilidad específica de que $x$ esté en el intervalo $[x-\Delta x,x+\Delta x]$, entonces obviamente $y$ estará en $[y_-,y_+]$ con esa misma probabilidad.

Answer 3

Podemos ver que la barra de error en el logaritmo de los datos $y=\log x$ puede aproximarse a $\Delta x /x$ en primer orden. Si el error en los datos $x$ es simétrico, entonces el valor superior e inferior de los datos dentro de 1$\sigma$ son $$ x_{\mathrm{upper}}=x+\Delta x/2$$ y, $$ x_{\mathrm{lower}}=x-\Delta x/2,$$ por lo tanto, el error en y debería ser, $$\Delta y = \log(x_{\mathrm{upper}}) - \log(x_{\mathrm{lower}})=\log(\frac{x+\Delta x/2}{x-\Delta x/2})= \log(1+\Delta x/2x) - \log(1-\Delta x/2x) \approx \Delta x/x$$ En el último paso, se utiliza la expansión de Taylor para encontrar el error en el $\log (x)$ en primer orden en $\Delta x/x$. La expansión solo puede truncarse hasta el primer término si $\Delta x/(2x) <<1$.