Pi aparece MUCHO en la trigonometría, pero sólo a causa de su "círculo-significado". Hace pi nunca la materia en las cosas que no se de que se trate con los círculos? Es su único derecho a la fama, el hecho de que su irracional y una importante proporción?
Respuestas
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Michael Haren
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141
Es difícil saber si un círculo no está al acecho en algún lugar, siempre hay $\pi$, pero los valores de la Riemann zeta función en los números enteros positivos tienen mucho que ver con los poderes de $\pi$: ver aquí los valores.
Por ejemplo, se puede demostrar que la probabilidad de que dos ", elegida al azar" enteros positivos son coprime es $\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2}$.
Matt Dawdy
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5479
$\pi$ aparece en Stirling aproximación, que no es, obviamente, en relación con los círculos. Esto significa que $\pi$ aparece en asymptotics relacionados con los coeficientes binomiales, tales como
$$\displaystyle {2n \elegir n} \approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.$$
En otras palabras, la probabilidad de un tirón exactamente $n$ jefes y $n$ colas después de lanzar una moneda de $2n$ veces es de alrededor de $\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$. Este asintótica también sugiere que, en promedio, debe voltear entre $n + \sqrt{\pi n}$ y $n - \sqrt{\pi n}$ cabezas.
bigmike7801
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Caitlin
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6
Sí, la relación de $\pi$ de la circunferencia de un círculo a su diámetro se muestra en muchos, muchos lugares donde uno no puede esperar!
Una explicación parcial (similares en espíritu a los "círculos se esconden en todas partes") es que la ecuación de un círculo es de $cuadrática$ (ej. $x^2+y^2 = r^2$.) Después de niza funciones lineales, la próxima funciones utilizadas más comúnmente son funciones cuadráticas y en todas partes uno se encuentra con una función cuadrática, una trigonométricas sustitución (por ejemplo, $x = r \cos \theta; y=r\sin \theta$) puede ser útil, de inflexión de la función cuadrática en algo que involucra $\pi.$ Esto explica la antiderivada $\int \frac{1}{1+x^2} dx$ involucra $\pi$, la suma de los recíprocos de los cuadrados $\sum^\infty\frac{1}{k^2}$ que involucra $\pi$ y el área bajo la distribución de Gauss relacionada con $\pi$. Y así sucesivamente....
