¿Por qué es un convenio que dice que, por ejemplo, los nimbers y números surreales no campos porque no forman conjuntos? ¿Esto es simplemente pedantería?
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¿Demasiados anuncios?
Es en algún lugar entre pedante y matemáticamente crucial para negarse a poner estructuras algebraicas en las clases. Vamos a recordar por qué tenemos la noción de clase adecuada, en primer lugar: en conjunto teórico de las matemáticas queremos ser capaces de definir nuevos objetos por fórmulas como el $\{I\subset R:RI\subset I, I-I\subset I\}$. Pero la norma paradojas muestran que si usted comienza a platicar de las fórmulas de participación de los "powerclass" de subobjetos de cualquier clase, se termina con los objetos que rara vez forman un conjunto, y en casos graves son realmente contradictorias. Es por eso que nuestra lógica se basa en conjuntos: porque trabajar con diferentes clases es trabajar en un sistema en el que no todos los axiomas que caracterizan la práctica de matemáticas, posiblemente, puede ser válido.
He elegido el ejemplo de arriba intencionalmente: si usted va para el estudio de los anillos, usted va a estudiar su colección de ideales, y su estructura de orden. Usted va a querer encontrar la máxima ideales para definir el cociente de los campos, por ejemplo. Pero en el trabajo con la debida clases de ninguno de nuestros maquinaria para ocuparse de la orden es válida ya, y esto se convierte en absurdo.
Todo lo que acaba de hacer el punto de que usted realmente debe tener algunas bases para su matemáticas. Pero no son los fundamentos en que se puede más o menos a hablar de cosas como el aparejo de los números cardinales (o Conway campo de surrealista números!) La más simple, que es ampliamente utilizado en la geometría algebraica y de los campos vecinos, es suponer que existe un "inaccesible cardenal" $\kappa$ más allá de la $\aleph_0$, es decir, uno lo suficientemente grande que usted no puede llegar a tomar sindicatos de menor cardinalidad de colecciones de subconjuntos de powersets de conjuntos de menor cardinalidad. Luego, de ordinario, la matemática puede ser hecho por la reinterpretación de "set" para referirse al "conjunto de cardinalidad menor que $\kappa$" y "clase" para referirse al "conjunto". Después, la plataforma de los números cardinales se convierte en la plataforma de cardenales por debajo de $\kappa$, pero para todos los algebraica de los efectos de esto será idéntica a la de tipo de aparejo que tenía en mente, sin la necesidad de preocuparse acerca de las paradojas.
sewo
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58
Sí, es pedante, pero del tipo que sea necesaria para evitar conclusiones erróneas.
Si usted llame a la surrealista números de un campo -- vamos a llamarlos $\mathbf S$ - a continuación, se puede esperar a ser capaz de hacer las cosas con ellos que usted puede hacer con los campos en general. Y, a veces, los teoremas se demuestran mediante la suposición de que el campo es de hecho un conjunto, y no necesariamente para los "grandes" de los campos que usted propone.
Por ejemplo se puede esperar a ser capaz de formar el espacio vectorial $\mathbf S^\omega$ de finitely admite secuencias de surrealista números: tan lejos y tan bien; sin duda podemos hablar de funciones con dominio $\omega$ cuyos valores son surrealista números y un número finito distinto de cero; cada una de ellas es incluso un conjunto y $\mathbf S^\omega$ se convierte en una clase adecuada de sí mismo.
Ahora, ¿cómo es el espacio dual de $\mathbf S^\omega$? Las cosas comienzan a crujir aquí, porque oficialmente que se supone que va a ser la colección de todos los funcionales lineales en $\mathbf S^\omega$, y desde $\mathbf S^\omega$ es propio de la clase grandes, cada funcional lineal es una clase adecuada y, a continuación, $(\mathbf S^\omega)^*$ no es ni siquiera una clase adecuada.
Afortunadamente, el argumento habitual va a ir a través de la que alinear funcional de $\mathbf S^{\omega}$ corresponde siempre a un elemento de $\mathbf S^{\mathbb N}$, y esas cosas son conjuntos, por lo $\mathbf S^{\mathbb N}$ es una clase adecuada.
Sin embargo, ahora las cosas se descomponen por completo. $\mathbf S^\omega$ es ciertamente infinito-dimensional, y para un infinito-dimensional espacio vectorial es un conjunto, es fácil probar que $V$ no es isomorfo a $V^*$. Pero esta prueba se procede a contar los elementos de los dos espacios ...
Edit: Bzzt. No. Contando dimensiones es suficiente. Ejemplo muere.
Por lo tanto necesitamos para llevar un registro cuidadoso de que las propiedades de nuestras estructuras sostienen en general, y las que son sólo para los "pequeños" estructuras cuyas colecciones de elementos son conjuntos. Los "grandes" estructuras generalmente satisfacer a menos propiedades que el "pequeño" de la voluntad.
En algunos casos, de hecho nosotros lo hacemos mientras el desarrollo de la teoría-más importante en la categoría de teoría y cuando se habla de los modelos de la teoría de conjuntos. En estos casos, el beneficio de ser capaz de hablar acerca de los "grandes" de las estructuras de justificar el desarrollo de una teoría de ellas.
Sin embargo, para la mayoría de los tipos de estructura, tales como campos o semirings -- la necesidad de hablar acerca de los grandes casos no ha sido tan grande que la gente suele preocuparse de mantener un registro sobre lo que puede decirse acerca de ellos.
Drealmer
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Literalmente, estas cosas no pueden ser los "campos" porque el contemporáneo "definición" de "campo" es que es un conjunto ... con las operaciones y condiciones. Que el literal de la descalificación es un poco pedante, sí, podemos admitir que, por la razón de que no hay indicación inmediata de por qué podría ser una cosa mala, que la tendencia al "set" de un campo podría ser "demasiado grandes".
Para muchos propósitos, este problema no importa... por ejemplo, cuando uno sólo utiliza finitely-muchos de los elementos de una extensión de un groundfield que tiene el conjunto subyacente literal de un conjunto.
Probablemente un bromista podría organizar aparentes paradojas a partir de lo que los "campos" que eran tan grandes que no tenían ninguna base. Seguro...
