Espectro de $\mathbb{Z}[x]$

Question

¿Puede alguien indicarme un recurso que demuestre que el espectro de $\mathbb{Z}[x]$ consiste en ideales $(p,f)$ donde $p$ primo o cero y $f$ mod irred $p$ ? En particular, recuerdo que esto se puede probar simplemente usando localizaciones, pero no puedo recordar cómo hacerlo. Definitivamente no quiero un enlace a un largo argumento sobre polinomios, ¡puedo encontrar bastantes de esos!

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Esta es una forma geométrica (¡esquemas!) de pensar en ello.

La inclusión $\Bbb Z\to\Bbb Z[x]$ define un morfismo $\operatorname{Spec}(\Bbb Z[x])\to\operatorname{Spec}(\Bbb Z).$ Así, para averiguar los primos de $\operatorname{Spec}(\Bbb Z[x]),$ podemos simplemente determinar todas las fibras de este mapa. ¿Cómo calculamos las fibras de este mapa?

Para $\langle p\rangle\subseteq\Bbb Z$ un ideal primo, retiramos el morfismo dado anteriormente sobre el mapa $\operatorname{Spec}(\kappa(p))\to\operatorname{Spec}(\Bbb Z)$ inducido por $\Bbb Z\to\Bbb Z_p/\frak{m_p}$ $=\kappa(p)$ , donde $\kappa(p)$ es el campo de residuos de $p.$ El campo de los residuos $\kappa(0)=\Bbb Q$ y para todos los demás primos $p$ tenemos $\kappa(p)=\Bbb F_p.$

La fibra sobre $\langle 0\rangle$ es por lo tanto $\operatorname{Spec}(\Bbb Q\otimes_{\Bbb Z}\Bbb Z[x])=\operatorname{Spec}(\Bbb Q[x])$ que son todos los polinomios irreducibles sobre $\Bbb Q$ y el ideal cero. Del mismo modo, la fibra sobre $\langle p\rangle$ es $\operatorname{Spec}(\Bbb F_p[x]),$ que no es más que los polinomios irreducibles sobre $\Bbb F_p$ junto con su ideal cero. (Los ideales cero corresponden a los de $\Bbb Z.$ )

Answer 2

Los ideales primos de $\mathbb Z[x]$ son de tres tipos según su altura

1. (altura $0$ ): $\{ 0\}$ ;

2. (altura $1$ ): $F(x)\mathbb Z[x]$ con $F(x)$ un elemento irreducible en $\mathbb Z[x]$ . Equivalentemente: $F(x)$ es un número primo $p$ o es primitivo e irreducible en $\mathbb Q[x]$ .

3. (altura $2$ ideales máximos): el $(p, f(x))$ como usted describe.

Answer 3

La intersección de un ideal primo con $\mathbb Z$ es de nuevo primo, por lo que obtenemos un primo $p$ (o 0). Al localizar en $p$ hacemos todos los no múltiplos de $p$ invertible y nos quedamos con un ideal en el anillo ideal de principio $\mathbb Z_p[X]$ es decir $(f)$ con $f\in\mathbb Z_p[X]$ . Si tuviéramos una factorización no trivial $f\equiv gh\pmod p$ Esto se puede elevar a una factorización en $\mathbb Z_p[X]$ lo cual es imposible. Por lo tanto, $f$ es irreducible $\bmod p$ . Esto también es válido si sustituimos $f$ con una aproximación en $\mathbb Z[X]$ . También vemos que cualquier $g$ en el ideal se convierte en un múltiplo de $f$ en $\mathbb Z_p[X]$ por lo que se puede escribir como un múltiplo de $p$ más un múltiplo de $f$ en $\mathbb Z[X]$ .

Answer 4

Hay un boceto aquí pero no lo he corregido. Estoy apostando por que sea útil, así que me disculpo (y borraré esto) si resulta ser inútil.

Answer 5

Hay dos casos: si un ideal primo $P$ de $Z[x]$ no contiene ninguna constante entonces considerando el ideal generado por $P$ en $Q[x]$ es un ideal propio de $Q[x]$ para que sea un ideal principal generado por un único polinomio $f(x)\in Q[x]$ . Pero entonces un elemento irreducible $g(x)\in P\subset Z[x]$ puede escribirse como $g(x)=f(x)h(x)$ con $h(x)\in Q[x]$ . Al considerar los denominadores comunes, $f(x)=f_1(x)/b$ y $h(x)=h_1(x)/c$ donde $f_1(x), h_1(x) \in Z[x]$ . Ahora $bcg(x)=f_1(x)h_1(x)$ . Observando el contenido de los polinomios podemos concluir que $P=(f_1(x))$ es un principio ideal de $Z[x]$ .

El caso en el que $P$ contiene una constante es fácil de resolver pasando al anillo de cociente.