¿Es posible que una función holomorfa en un dominio conectado conforme pero no inyectiva? ¿Además, es posible que una función holomorfa inyectiva pero no conforme?
Respuestas
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Ejemplo. La función exponencial es de conformación, pero no inyectiva: su derivada es la nada de fuga (por lo de conformación) sino $\exp 0 = \exp 2 \pi i$ (por lo que no inyectiva).
La proposición. La derivada de una inyectiva holomorphic función de $f : D \to \mathbb{C}$ donde $D$ es un subconjunto abierto en $\mathbb{C}$, es la nada de fuga. En particular, $f$ es de conformación.
Prueba. Nosotros probamos la de una declaración más fuerte, lo cual implicará el contrapositivo de la anterior proposición. Deje $z_0 \in D$. Por un cambio de coordenadas, si es necesario, podemos suponer que la $f(z_0) = 0$ $z_0 = 0$ sin pérdida de generalidad. Entonces, existe un entero positivo $n$ y un holomorphic función de $h : D \to \mathbb{C}$ tal que $f(z) = z^n h(z)$ todos los $z$$D$$h(0) \ne 0$. Así, en particular, hay una vecindad $U$ tal que $0 \in U \subseteq D$ $h$ está en ningún lugar de fuga en $U$. Que implica que hay un holomorphic función de $g : U \to \mathbb{C}$ tal que $g(z)^n = h(z)$ todos los $z$$U$. (Tomar una holomorphic rama del mapa de $w \mapsto w^{1/n}$.) Por lo $f(z) = (z \, g(z))^n$ todos los $z$$U$.
Tenga en cuenta que $z \mapsto z \, g(z)$ tiene un no-cero de la derivada en $0$ (desde $g(0) \ne 0$), por lo que por el teorema de la función inversa, si $U$ es lo suficientemente pequeño, $z \mapsto z \, g(z)$ es invertible holomorphic de la función en $U$. Esto implica $f$ $n$a-$1$ función en $U \setminus \{ 0 \}$. Pero si $f'(0) = 0$, teniendo en cuenta la potencia de la serie de $f$, debemos tener $n \ge 2$.
Llegamos a la conclusión de que un holomorphic función de $f : D \to \mathbb{C}$ ha derivado de fuga en $z_0$ si y sólo si no puede ser localmente inyectiva en $z_0$.
(Este es probablemente mi favorito resultado en el análisis complejo.)
Josh
Puntos
38
No es posible que un holomorphic función inyectiva pero no de conformación; para un holomorphic f sea inyectiva, su derivada debe ser distinto de cero, y conformality de f es equivalente a tener $f'(z)\neq 0$.
Por otro lado, es posible que f sea de conformación, pero no inyectiva: $expz:=e^z$ es un ejemplo.Conformality se deduce del hecho de que f(z) es analítica , y $\frac{de^z}{dz}=e^z$, e $e^z\neq 0$; (uso de la identidad $e^ze^{-z}=1$$e^z\neq 0$)
EDIT: Conformality se sigue de la de Cauchy-Riemann ecuaciones , que muestran que el efecto de f'(z) es que de estiramiento y rotación. Si f'(z) no es cero, entonces cualquier vector tangente formando un ángulo de $\theta$ será girado, en virtud de que f'(z) por un agle $\theta$, de modo que dos vectores $v,w$ formando un ángulo de $\gamma$ entre ellos, cada uno será girado por la misma cantidad, con el efecto de que la diferencia neta en los ángulos de los vectores v,w, y sus respectivas imágenes f(v),f(w) es $\theta -\theta=0$
