¿Pruebas de la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Question

¿Cuántas pruebas de la desigualdad de Cauchy-Schwarz existen? ¿Hay algún tipo de referencia que muestra todas estas pruebas?

Answer 1

Aquí está uno:

Reclamo: $|\langle x,y \rangle| \leq \|x\|\|y\| $

Prueba: Si uno de los dos vectores es cero entonces ambos lados son cero por lo que suponemos que ambas $x,y$ son cero. Que $t \in \mathbb C$. Entonces

$$\begin{align} 0 \leq \|x + ty \|^2 &= \langle x + ty, x + ty\rangle \\ &= \langle x,x\rangle + \langle x,t y\rangle + \langle yt, x\rangle + \langle ty,ty\rangle \\ &= \langle x,x\rangle + \bar{t} \langle x,y\rangle + t \overline{\langle x,y\rangle} + |t|^2 \langle y,y\rangle \\ &= \langle x,x\rangle + 2 \Re(t \overline{\langle x,y\rangle}) + |t|^2 \langle y,y\rangle \end {Alinee el} $$

Elegir $t := -\frac{\langle x, y \rangle}{\langle y, y \rangle}$. Entonces obtenemos %#% $ #%

Y por lo tanto $$ 0 \leq \langle x,x\rangle + 2 \Re(- \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\langle y, y \rangle}) + \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\langle y, y \rangle} = \langle x, x \rangle - \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\langle y, y \rangle}$.

Tenga en cuenta que $|\langle x,y \rangle| \leq \|x\|\|y\| $ $y = \lambda x$ y igualdad sostiene: $\lambda \in \mathbb C$ $

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, asuma $\|y\|=1$. Escriba $x=\left<x,y\right>y+z$. Entonces $z$ es ortogonal a $y$, porque $$\left<x,y\right>=\left<(\left<x,y\right>y+z),y\right>=\left<x,y\right>\left<y,y\right>+\left<z,y\right>,$ $ de hecho cede $\left<z,y\right>=0$. Por lo tanto, $$\|x\|^2=\left<x,x\right>=|\left<x,y\right>|^2+\left<z,z\right>\geq |\left<x,y\right>|^2,$ $ con igualdad iff $z= 0$, es decir, $x\in\mathbb{F}y$.

Answer 3

Me gusta mucho esta prueba para vectores reales. Recordar que un producto interno de vectores reales tiene las siguientes propiedades:

$\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$

$\langle ax+y,z\rangle=a\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$

$\langle x,x\rangle\geq0$

Entonces $0\leq\langle lx+y,lx+y\rangle=l^2\langle x,x\rangle+l\langle x,y\rangle+l\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle=l^2\langle x,x\rangle+2l\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle$

$Let\:a=\langle x,x\rangle, b=\langle x,y\rangle,c=\langle y,y\rangle$, entonces la ecuación se convierte

$al^2+bl+c\geq0$

Se trata de una ecuación cuadrática en $l$ al más 1 raíz real. Por lo tanto

$b^2-4ac\leq 0$

$\implies4{\langle x,y\rangle}^2-4\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle\leq 0$

$\implies{\langle x,y\rangle}^2\leq\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle$

No está mal ¿eh? Lamentablemente no funciona hacia fuera tan bien con el complejo vectores $:($