Límite de la secuencia $(\sin n)^{n}$

Question

¿Cómo calcular $$ \lim_{n\to\infty}(\sin n) ^ {n} \,? ¿$$ Suficientemente es que desde el $|\sin x|\leq 1$ $\forall x\in\mathbb{R}$ y $|\sin n|<1$ $\forall n\in\mathbb{N}$ y $ \lim_{n\to\infty} (\sin n) ^ {n} = 0 \,? $$ ¿Es cierto eso si $|a_{n}|<1$ $\forall n\in\mathbb{N}$ y $\lim_{n\to\infty} (a_ {n}) ^ {n} = 0 \,? $$

Answer 1

Este límite no existe, usted puede encontrar diferentes acumulación de puntos.

Por el teorema de Dirichlet, se encuentran como muchos enteros $p,q$ como desee, que $$|\pi-\frac pq|<\frac1{q^2},$$o $$|q\pi-p|<\frac1{q}.$$ Tomar el seno y elevar a la $p^{th}$ de la potencia, $$|\sin^pp|<\sin^p\frac1{q},$$ es decir, con $q>\frac p4$, $\color{blue}{\sin^pp}$ es arbitrariamente cerca de $\color{blue}0$ infinidad de veces.

Por la misma razón, también encontrarás muchos enteros $p,q=2^er$ (impares $r$) como desee, que $$|\frac\pi{2^{e+1}}-\frac pq|<\frac1{q^2},$$o $$|r\frac\pi{2}-p|<\frac1{q}.$$ Tomando el coseno (una función decreciente) y elevar a la $p^{th}$, $$|\sin^pp|>\cos^p\frac1{q},$$ es decir, tomando nota de que $q>2^{e-1}p$, $\color{blue}{\sin^pp}$ es arbitrariamente cerca de $\color{blue}1$ infinitamente muchas veces (como $\cos\frac1q=1-o\left(\frac1q\right)$).

Answer 2

Cálculos numéricos sugieren fuertemente que la secuencia $(\sin n)^n$ es divergente. Esta es la trama de los términos primer millón: