Mientras se trabaja en este problema, he tomado nota de un método general.
Por lo tanto, he añadido otro post para explicar este método general.
Definiciones
Tenga en cuenta que
$$
\big( x \pm y \big)^n =
\frac{ \big( x + y \big)^n + \big( x - y \big)^n}{2}
\pm \frac{ \big( x + y \big)^n - \big( x - y \big)^n}{2}.
$$
Vamos a definir
$$
\left[
\begin{array}{rcl}
c_n(x,y) &=& \displaystyle \frac{ \big(x+y\big)^n + \big(x-y\big)^n}{2}\\\\
s_n(x,y) &=& \displaystyle \frac{ \big(x+y\big)^n - \big(x-y\big)^n}{2}
\end{array}
\right.
$$
así que podemos escribir
$$
\big( x \pm y \big)^n = c_n(x,y) \pm s_n(x,y).
$$
La propiedad
A partir de las definiciones de $c_n(x,y)$ $s_n(x,y)$ sigue
$$
c^2_n(x,y) - s^2_n(x,y) = \big( x^2 - y^2 \big)^n.
$$
Y un caso especial es dada por
$$
x^2 - y^2 = 1 \Longrightarrow c^2_n(x,y) - s^2_n(x,y) = 1
$$
Caso especial $x^2 - y^2 = 1$
Para el caso especial $x^2 - y^2 = 1$ podemos escribir
$$
\left[
\begin{array}{rcl}
x &=& \displaystyle \sqrt{1 + \kappa^2}\\\\
y &=& \kappa
\end{array}
\right.
$$
de dónde
$$
\Big( \sqrt{1 + \kappa^2} \pm \kappa \Big)^n =
\sqrt{ c^2_n\Big( \sqrt{1 + \kappa^2}, \kappa \Big) }
\pm \sqrt{ c^2_n\Big( \sqrt{1 + \kappa^2}, \kappa \Big) - 1 }
$$
Por lo tanto
$$
\mu = c^2_n\Big( \sqrt{1 + \kappa^2}, \kappa \Big)
\Longrightarrow
\Big( \sqrt{1 + \kappa^2} \pm \kappa \Big)^n =
\sqrt{ \mu }
\pm \sqrt{ \mu - 1 }
$$
Propiedad de $c^2_n(x,y)$
A partir de la definición de $c_n(x,y)$ sigue
$$
c_{n}(x,y) = \sum_{\algebra=0}^{n} \binom{n}{\algebra} \frac{1 + (-1)^\algebra}{2}
x^{n-\algebra} y^{\algebra}.
$$
De dónde
$$
\begin{array}{rclcrcl}
n &=& 2 o &:&
c^2_{2 o}(x,y) &=& \displaystyle
\left\{ \sum_{\imath=0}^{2 o} \binom{2 o}{\imath}
\frac{1 + (-1)^\imath}{2} x^{2o - \imath} y^{\imath} \right\}^2\\
&&&&&=& \displaystyle
\left\{ \sum_{\jmath=0}^{o} \binom{2 o}{2\jmath}
\big(x^2\big)^{o - \jmath} \big(y^2\big)^{\jmath} \right\}^2.\\\\
n &=& 2 o + 1 &:&
c^2_{2 o + 1}(x,y) &=& \displaystyle
\left\{ \sum_{\imath=0}^{2 o + 1} \binom{2 o + 1}{\imath}
\frac{1 + (-1)^\imath}{2} x^{2 o + 1 -\imath} y^{\imath} \right\}^2\\
&&&&&=& \displaystyle
x^2 \left\{ \sum_{\jmath=0}^{o} \binom{2 o + 1}{2\jmath}
\big(x^2\big)^{o - \jmath} \big(y^2\big)^{\jmath} \right\}^2.
\end{array}
$$
Finalmente obtenemos
$$
c^2_n(x,y) = F(x^2,y^2).
$$
El anillo de $\mathcal{R}$
Deje $\mathcal{R}$ ser un anillo.
Un polinomio $P_\mathcal{R}(x,y)$ se define como
$$
\forall v,w \in \mathbb{N}, r_{vw} \in \mathcal{R} :
\mathcal{R} \times \mathcal{R} \ni (x,y) \mapsto
P_\mathcal{R}(x,y) =\sum_{v,w} r_{vw} x^v y^w \in \mathcal{R}.
$$
Deje $\mathcal{R}$ ser un anillo, de tal manera que $\mathbb{N} \subset \mathcal{R}$.
Entonces es claro que
$$
\mathcal{R} \times \mathcal{R} \ni (x^2,y^2) \mapsto
c^2_n(x,y) = P_\mathcal{R}(x^2,y^2) \in \mathcal{R}.
$$
Conclusión
En consecuencia, nos encontramos con
Deje $\mathcal{R}$ ser un anillo, de tal manera que $\mathbb{N} \subset \mathcal{R}$,
entonces
$$
\forall k \in \mathcal{R}, n \in \mathbb{N}:
( \sqrt{ 1 + k^2 } \pm k )^n = \sqrt{m} \pm \sqrt{m-1},
$$
donde
$$
m = c^2_n\big( \sqrt{ 1 + k^2 }, k \big) =
P_\mathcal{R}(1 + k^2,k^2) \in \mathcal{R}.
$$
Tenga en cuenta que
$$
\forall k \ni \mathcal{R} : m = \left( \frac{ \big( \sqrt{ 1 + k^2 } + k \big)^n
+ \big( \sqrt{ 1 + k^2 } - k \big)^n }{2} \right)^2 \in \mathcal{R}.
$$
El problema
Consideremos el anillo de $\mathbb{Z}$.
Está claro que $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
De dónde
$$
\forall k \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}:
( \sqrt{ 1 + k^2 } \pm k )^n = \sqrt{m} \pm \sqrt{m-1},
$$
donde
$$
\forall k \ni \mathbb{Z} : m = \left( \frac{ \big( \sqrt{ 1 + k^2 } + k \big)^n
+ \big( \sqrt{ 1 + k^2 } - k \big)^n }{2} \right)^2 \in \mathbb{Z}.
$$
El problema - caso de $k=1$
$$
( \sqrt{ 2 } \pm 1 )^n = \sqrt{m} \pm \sqrt{m-1},
$$
donde
$$
m = \left( \frac{ \big( \sqrt{ 2 } + 1 \big)^n
+ \big( \sqrt{ 2 } - 1 \big)^n }{2} \right)^2 \in \mathbb{Z}.
$$
