Conjunto de Cantor + Conjunto de Cantor = $[0,2]$

Question

Intento demostrar que

$C+C =[0,2]$ donde $C$ es el conjunto de Cantor.

Mi intento:

Si $x\in C,$ entonces $x= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n}$ donde $a_n=0,2$

por lo que cualquier elemento de $C+C $ es de la forma $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{3^n}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+b_n}{3^n}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a_n+b_n)/2}{3^n}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{3^n}$$

donde $x_n=0,1,2, \ \forall n\geq 1$ .

¿Es correcto?

Answer 1

Por $1-C=C$ podemos hacerlo para todos $x\in [0,1]$ . Entonces denotemos $x=x_1x_2...x_m...$ (donde $x=\sum_n3^{-n}x_n$ con $x_n=0,1,2$ ) y entonces construimos como $a=\sum_n3^{-n}a_n$ , $b=\sum_n3^{-n}b_n$ con $a_n,b_n=0,2$ y $a+b=x$ .

Lo hacemos de forma iterativa, supongamos $x_1=0$ fijamos $a_1=b_1=0$ y supongamos $x_1=1$ fijamos $a_1=b_1=0$ y supongamos $x_1=2$ fijamos $a_1=2,b_1=0$ . Entonces vemos $x-a_1-b_1=0x_2x_3...$ (primer caso) o $x-a_1-b_1=1x_2x_3...$ (segundo caso); y entonces en el primer caso, y si $x_2=2$ fijamos $a_2=2,b_2=0$ y si $x_2=1$ fijamos $a_2=0,b_2=0$ y si $x_2=0$ fijamos $a_2=0,b_2=0$ . Y en el segundo caso, si $x_2=1$ fijamos $a_2=b_2=2$ ; si $x_2=2$ fijamos $a_2=b_2=2$ y si $x_2=0$ fijamos $a_2=2,b_2=0$ . Entonces, por esta construcción, vemos $x-a_1a_2-b_1b_2=00x_3x_4...$ o $01x_3x_4...$ .

E iterar este proceso una y otra vez para construir un $a=a_1...a_n...$ y $b=b_1b_2...b_n...$ tal que $x-a_1...a_n-b_1b_2...b_n=0...0x_{n+1}x_{n+2}....$ o $0...1x_{n+1}x_{n+2}...$ . Entonces podemos ver $x=a+b$ de hecho.

Answer 2

$[0,1]=\frac{1}{2}[0,2]$ . Supongamos que $z\in[0,1]$ y establece $z'=\frac12 z\in [0,1]$ . Sea $z'=\sum^\infty_{n=0}\frac{a_n}{3^n}$ donde $a_n\in\{0,1,2\}$ . Sea $w=\sum_{n:a_n=2}\frac{a_n}{3^n}=2\sum_{n:a_n=2}\frac{1}{3^n}$ . Observe que $$z'=\frac12w+(\frac12w+(z'-w))$$

$x'=\frac12w\leq 1/2$ tiene una expansión ternaria formada por $0$ y $1$ por lo que $x=2x'\in C$ . Del mismo modo, $y'=\frac12w+(z-w)$ tiene una expansión ternaria formada por $0$ y $1$ por lo que $y'\leq\sum^\infty_{n=1}3^{-n}=\frac12$ y $2y'\in C$ .

Entonces $z'=x+y\in C+C$ .