Conjunto de Cantor + Conjunto de Cantor = $[0,2]$

Question

Intento demostrar que

$C+C =[0,2]$ donde $C$ es el conjunto de Cantor.

Mi intento:

Si $x\in C,$ entonces $x= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n}$ donde $a_n=0,2$

por lo que cualquier elemento de $C+C $ es de la forma $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{3^n}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+b_n}{3^n}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a_n+b_n)/2}{3^n}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{3^n}$$

donde $x_n=0,1,2, \ \forall n\geq 1$ .

¿Es correcto?

Answer 1

La respuesta corta a esta pregunta es "su argumento es correcto". Para justificar la respuesta considere algunos $n_{0}\in \mathbb{N}$ . Desde $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{3^{n}},\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{b_{n}}{3^{n}}\in C$$ tenemos que $ x_{n_{0}}=\dfrac{a_{n_{0}}+b_{n_{0}}}{2}\in \{0,1,2\} $ . ( $ x_{n_{0}}=0 $ si $ a_{n_{0}}=b_{n_{0}}=0 $ . $ x_{n_{0}}=2 $ si $ a_{n_{0}}=b_{n_{0}}=2 $ . De lo contrario, $ x_{n_{0}}=1 $ . )

Entonces claramente $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x_{n}}{3^{n}}\in [0,1].$$ Así que $$2\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x_{n}}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{b_{n}}{3^{n}}\in [0,2].$$ Por lo tanto $ C+C\subseteq [0,2] $ . Para completar la prueba hay que demostrar que la otra dirección también. Para demostrar $ [0,2]\subseteq C+C $ basta con mostrar $ [0,1]\subseteq \dfrac{1}{2}C+\dfrac{1}{2}C $ .

Observe que $ b\in \dfrac{1}{2}C $ si y sólo si existe $ t\in C $ tal que $ b=\dfrac{1}{2}t $ .

Por lo tanto $$ b\in \dfrac{1}{2}C\text{ if and only if }b=\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{b_n}{3^n}\text{ ; where }b_{n}=0\text{ or }1. $$ Ahora dejemos que $ x\in [0,1] $ . Entonces $$ x= \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{x_n}{3^n}\text{ ; where }x_{n}=0,1\text{ or }2. $$ Aquí tenemos que encontrar $ y,z\in \dfrac{1}{2}C $ tal que $ x=y+z $ . Definamos $ y=\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{y_n}{3^n} $ y $ z=\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{z_n}{3^n} $ como sigue.

Para cada $n\in \mathbb{N}$ , $ y_{n}=0 $ si $ x_{n}=0 $ y $ y_{n}=1 $ si $ x_{n}=1,2 $ .

Para cada $n\in \mathbb{N}$ , $ z_{n}=0 $ si $ x_{n}=0,1 $ y $ z_{n}=1 $ si $ x_{n}=2 $ .

Así $y,z\in \dfrac{1}{2}C $ y para cada $n\in \mathbb{N}$ , $ y_{n}+z_{n}=0 $ si $ x_{n}=0 $ , $ y_{n}+z_{n}=1 $ si $ x_{n}=1 $ y $ y_{n}+z_{n}=2 $ si $ x_{n}=2 $ .

Por lo tanto $x=y+z\in \dfrac{1}{2}C+\dfrac{1}{2}C$ y por lo tanto $[0,1] \subseteq \dfrac{1}{2}C+\dfrac{1}{2}C$ . $\square $

Answer 2

Se puede demostrar fácilmente que cada número de $[0,2]$ de la forma $m/3^n$ , $0\leq m\leq 2\times 3^m$ puede escribirse con una suma $x+y$ donde $x,y\in C$ . Desde $A=\{m/3^n;0\leq m\leq 2\times 3^m \}$ es denso en $[0,2]$ y $C$ es compacto tenemos que $[0,2]\subset C+C$ .

Answer 3

Desde $C \subset [0,1]$ tenemos $1/2(C+C) \subset [0,1]$ por la convexidad de $[0,1]$ .

La inclusión $[0,1] \subset \frac{1}{2}C + \frac{1}{2}C$ fue explicado por @Tgymasb, de todas formas, como yo lo veo

$$\frac{1}{2}C = \sum_{n \ge 1} \frac{a_n}{3^n}$$ con $a_n \in \{0,1\}$ mientras que $$[0,1] = \sum_{n \ge 1} \frac{c_n}{3^n}$$ con $c_n \in \{0,1,2\}$ y la cuestión es que cualquier función de algún dominio a $\{0,1,2\}$ es una suma de dos funciones que corresponden a $\{0,1\}$ y esto es porque tenemos las descomposiciones obvias: $$2 = 1 + 1\\ 1 = 1 + 0\\ 0 = 0 + 0$$

$\tiny{ \text{( pointwise addition so no carries)}}$

Answer 4

Necesitamos mostrar ambas inclusiones. $C+C\subseteq [0,2]$ es bastante obvio, sin embargo $[0,2]\subseteq C+C$ ya no lo es. Para la prueba de la segunda afirmación recomiendo el libro escrito por Steven G. Krantz - "A Guide to Topology", que tiene una analítica realmente buena. Se puede encontrar en línea http://books.google.com/books?id=O3tyezxgv28C&printsec=frontcover&hl=pl&redir_esc=y#v=onepage&q=cantor&f=false mira la página 35.

Answer 5

El conjunto $C+C$ es un subconjunto compacto no vacío de $\mathbb R$ . Desde $C=\frac13C+\big\{0,\frac23\big\}$ tenemos $(C+C)=\frac13(C+C)+ \big\{0,\frac23,\frac43\big\}$ . Así que ambos $C+C$ y el intervalo $[0,2]$ son puntos fijos del mapa $F\mapsto \frac13 F+ \big\{0,\frac23,\frac43\big\}$ . Esta última es una contracción del conjunto $\mathcal K$ de todos los subconjuntos compactos no vacíos de $\mathbb R$ con respecto a la distancia de Hausdorff $d_H$ para que coincidan. $\square$

rmk. Tenga en cuenta que $(\mathcal K,d_H)$ es un espacio métrico completo, también se puede utilizar el principio de contracción para definir $C$ como la única compacta no vacía $C\subset \mathbb R$ tal que $C=\frac13C+\big\{0,\frac23\big\}$ la iteración $C_{n+1}:=\frac13C_n+\big\{0,\frac23\big\}$ a partir de $C_0:=[0,1]$ produce la construcción habitual $C \displaystyle=\lim_{n\to\infty}C_n=\cap_{n\in\mathbb N}C_n$ .