Los autovalores doblemente estocástico matrices

Question

Hubo una larga conjetura que indica que el lugar geométrico de los autovalores doblemente estocástica de las matrices de orden $n$ es exactamente la unión de regular $k$-ágonos anclado en $1$ en la unidad de disco para $2 \leq k \leq n$.

Mashreghi y Rivard mostró que esta conjetura es malo para $n = 5$, cf. Lineal y Multilineal Álgebra, Volumen 55, Número 5, septiembre 2007 , pp 491-498.

Hemos avanzado desde entonces, más allá de $n=5$, o para $n=4$? ($n=2,3$ es bastante simple).

Answer 1

Yo accidentalmente vio este papel hoy en día en internet sobre el caso de $n=4$:

Jeremy Levick, Rajesh Pereira y David W. Kribs (2015), Los cuatro dimensiones Perfecta-Mirsky Conjeturas, Publicación: Proc. Amer. De matemáticas. Soc., 143: 1951-1956.

Resumen: Debemos verificar el Perfecto-Mirsky Conjetura sobre la estructura del conjunto de autovalores para todos los $n\times n$ doblemente estocástico matrices en las cuatro dimensiones de la caja. El $n=1,2,3$ de los casos se han establecido previamente y el $n=5$ de los casos ha demostrado ser falsa. Nuestra prueba es directa y utiliza herramientas básicas de la teoría de la matriz y el análisis funcional. Basado en este análisis se formulan nuevas conjeturas para el caso general.