Cuando es la multiplicación de la matriz conmutativa?

Question

Sé que la multiplicación de matrices en general no es conmutativa. Así, en general:

$A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}: \cdot B \neq B \cdot$

Pero para algunas matrices, estas ecuaciones se mantiene, por ejemplo, A = Identidad o = Nulo de la matriz $\forall B \in \mathbb{R}^{n \times n}$.

Yo creo recordar que un grupo especial de matrices (era $O(n)$, el grupo ortogonal de matrices?) existen, para los que la multiplicación de matrices es conmutativa.

Para que las matrices $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es $a\cdot B = B \cdot$?

Answer 1

Dos matrices que son al mismo tiempo diagonalizable siempre son conmutativos.

Prueba: Supongamos $A$, $B$ ser dos de estos $n \times n$ matrices de más de un campo base de $\mathbb K$, $v_1, \ldots, v_n$ una base de vectores propios por $Un$. Desde $A$ y $B$ son simultáneamente diagonalizable, una base existe y es también una base de vectores propios por $B$. Indicar los correspondientes Autovalores de $A$ $\lambda_1,\ldots\lambda_n$ y los de $B$ por $\mu_1,\ldots,\mu_n$.

A continuación, se sabe que existe una matriz $T$ cuyas columnas son de $v_1,\ldots,v_n$ tales que $T^{-1} T =: D_A$ y $T^{-1} B T =: D_B$ son diagonales de las matrices. Desde $D_A$ y $D_B$ trivialmente conmutar (cálculo explícito muestra esta), tenemos $$AB = T D_A T^{-1} T D_B T^{-1} = T D_A D_B T^{-1} =T D_B D_A T^{-1}= T D_B T^{-1} T D_A T^{-1} = BA.$$

Answer 2

La única de las matrices que conmutan con todos los otros matrices son múltiplos de la identidad.

Answer 3

Entre los grupos de matrices ortogonales $S(n,\mathbb R)$, únicamente en el caso $n=0$ (el trivial grupo) y $n=1$ (los dos grupo de elementos) dar conmutativa de la matriz de grupos. El grupo $O(2,\mathbb R)$ consta de avión rotaciones y reflexiones, de la que el ex formar un índice $2$ conmutativa subgrupo, pero los reflejos no conmuta con rotaciones o entre cada uno de los otros en general. La mayor conmutativa subalgebras de las matrices cuadradas son aquellos que están en diagonal en algunos fijos; estos subalgebras sólo tiene dimensión $n$, de un disponible de $n^2$, por lo que la conmutación es realmente excepcional entre $n\times n$ matrices (al menos para $n\geq2$). Nada muy simple se puede decir que (no tautologically) que caracteriza a todos los desplazamientos de los pares de matrices.

Añadido. De hecho, la afirmación anterior acerca de la mayor conmutativa subalgebra es falso. Si se toma el conjunto de matrices cuyos distinto de cero las entradas sólo se producen en un bloque que toca a la diagonal principal (sin contener cualquier diagonal posiciones), esto es siempre una conmutativa subalgebra. Y entonces usted puede lanzar en múltiplos de la matriz de identidad. Por lo tanto hay por ejemplo un conmutativa subalgebra de dimensión $\lfloor\frac{n^2}4\rfloor+1$ dentro $M_n(K)$ para todo $n$ y $\lfloor\frac{n^2}4\rfloor+1>n$ para todo $n>3$. Vea aquí.

Answer 4

El ortogonal de matrices no conmutan, de hecho hay un subespacio de la orthogonals que no conmutativa!

Comprobar que una permutación de la matriz es una matriz ortogonal (En caso de que no saben lo que es una matriz de permutación es, es sólo una matriz $(a_{ij})$ tal que una permutación $\sigma$ existe para los cuales $a_{i,\sigma(i)}=1$ y $a_{ij}=0$ para $j\ne\sigma(i)$

La aplicación de un vector columna de $x$ la acción de la permutación de matrices es sólo permutación de las coordenadas de $x$. Pero como sabemos que el grupo de simetría no es abelian. Tan sólo tienes que elegir dos no los desplazamientos permutaciones y sus correspondientes matrices claramente no conmutan!

Answer 5

Si las dos matrices tienen Jordania Formas Normales que tienen la misma estructura de bloque. La multiplicación de los bloques dará diagonal $\lambda_1\lambda_2$, la primera fuera de la diagonal $\lambda_1 + \lambda_2$ y el segundo fuera de la diagonal $1$ así, suponiendo escalar multiplicación y la suma es conmutativa lo harán los bloques de jordan.