Deje $\{X_k\}_{k=0}^{\infty}$ ser una martingala, suponiendo $X_0 = 0$ $E[{X_n}^2] <\infty$ . Demostrar que $P $\left(\max_{1\k le \le n} X_k \ge r \right) \le \frac{E[{X_n}^2]}{E[{X_n}^2] + r^2}$$ todos los $r>0$.
He tratado de emular la prueba de la Doob máxima desigualdad de la siguiente manera. Deje $T = \min\{k\, : \, X_k \ge r\}$. Entonces, por la desigualdad de Jensen, $\{{X_k}^2\}$ es un submartingale, por lo que el $E[{X_{T\wedge n}}^2] \le E[{X_n}^2]$ a través opcional de frenado teorema. Desde $${X_{T\wedge n}}^2 \ge \mathbb{1}_{T\le n} r^2 + \mathbb{1}_{T> n} {X_n}^2$$ it follows $$E[{X_{T\wedge n}}^2] \ge r^2 P(T\le n) + E[{X_n}^2 \mathbb{1}_{T>n}] $$ If this is the right approach, then we next will have to prove $E[{X_n}^2 \mathbb{1}_{T>n}] \ge P(T\le n) E[{X_n}^2]$ pero yo no soy capaz de demostrar esto. He tratado de Cauchy-Schwarz y Jensen, tanto en vano. Así que espero que este enfoque es demasiado débil.
Otra observación que he hecho es la siguiente: Por Cauchy-Schwarz, $$E[X_{T\wedge n} \mathbb{1}_{T>n} ]^2 \le E[{X_{T\wedge n}}^2 \mathbb{1}_{T>n}] P(T>n) \le r^2 P(T>n)^2$$ since $X_{T\wedge n} \le r$ when $T>n$. But also $$E[X_{T\wedge n} \mathbb{1}_{T> n} ]^2 = E[X_{T\wedge n} \mathbb{1}_{T\le n} ]^2\ge E[r\cdot \mathbb{1}_{T\le n}]^2 = r^2 P(T\le n)^2$$ by using optional stopping theorem to see $E[X_{T\wedge n}] = E[X_0] = 0$. Thus $P(T\le n) \le P(T>n)$. Pero no sé cómo continuar a partir de aquí. Cualquier ayuda/sugerencias se agradece mucho!
