Ecuación diofántica \[ x^3+x^2-16=2^y \]

Question

Resuelve en enteros: $x^3+x^2-16=2^y$.

mi intento:

por supuesto $y\ge 0$, entonces $2^y\ge 1$, así que $x\ge 1$.

para $y=0,1,2,3$ no hay ningun $x$ bueno.

así que $y\ge 4$ y tenemos la ecuación $x^2(x+1)=16(2^z+1)$, donde $z=y-4\ge 0$.

¿qué sigue?

Answer 1

$x^3+x^2=2^y+16$. La parte derecha es positiva, por lo que $x^2(x+1)>0\iff x\ge 1$. Dado que $2^y$ es un entero, tenemos que $y$ también es un entero positivo ($y=0$ no dará una solución).

$x,y$ son enteros positivos.

$x^3+x^2-16=2^y$. Ves un polinomio cúbico en la parte izquierda que fácilmente podría estar estrictamente limitado entre dos cubos consecutivos (es decir, $x^3$ y $(x+1)^3$) para la mayoría de los valores de $x$, lo que hace imposible que sea un cubo en sí mismo. Por lo tanto, si $2^y$ es un cubo, es decir, $3\mid y$, hemos terminado. Y de hecho, es un cubo.

$2^y\equiv 1,2,4\pmod{7}$ para $y\equiv0,1,2\pmod 3$, respectivamente.

$x^3+x^2-16\equiv 5,0,3,6,1,1,5\pmod{7}$ para $x\equiv 0,1,2,3,4,5,6\pmod{7}$, respectivamente.

El único residuo común es $1$, por lo que $y\equiv 0\pmod{3}$. Esto implica que $x^3+x^2-16$ es un cubo.

Pero $x^3

Answer 2

Esta es solo una solución para valores pares de $x$:

Para $x$ par, $x^2$ es par y $x+1$ es impar. Por lo tanto $\gcd(16, x+1) = 1$. Entonces $16 \mid x^2$. Entonces $4 \mid x$. Entonces $x = 4k$ para algún $k$.

$16k^2(4k+1)=16(2^z+1)$

$k^2(4k+1)=2^z+1

Si $k$ es par, entonces el lado derecho es par y tenemos una contradicción. Entonces $k$ debe ser impar. Por lo tanto $k = 2t+1$ para algún $t$.

$(2t+1)^2 (8t+5) = 2^z + 1$

$(4t^2 + 4t + 1)(8t + 5) = 2^z + 1$

$32t^3 + 52t^2 + 28t + 4 = 2^z$

Vemos que $z \geq 2$. Sea $w = z - 2$.

$8t^3 + 13t^2 + 7t + 1 = 2^w

Para $w \geq 1$, $t^2 + t + 1 \equiv 0 \pmod{2}$ lo cual no tiene solución en $t$.

Entonces $w = 0.

$8t^3 + 13t^2 + 7t = 0

$t(8t^2 + 13t + 7) = 0

Tomamos el discriminante del cuadrático, así obtenemos $169 - 224 < 0$.

Así que $t = 0$ y $w = 0$.

Entonces para $x$ par, $x = 4k = 4(2t + 1) = 4$ y $y = z + 4 = w + 6 = 6$.

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También puedes acotar $x$, dándolo en términos de $y$. Regresa a $x^3+x^216=2^y$. Considera $f(x,y) = x^3 + x^2 - 16 - 2^y$. Evalúa $f(2^{y/3},y) = 2^y + 2^{2y/3} - 16 - 2^y = 2^{2y/3} - 16$ que es igual a $0$ cuando $y = 6$ y es mayor que $0$ cuando $y > 6$. Evalúa $f(2^{y/3} - 1, y)$ lo cual puedes comprobar aquí que es menor que $0$ para todos los $y$. Esto muestra que si $x$ es un entero y $f(x,y) = 0$ entonces $x = \left \lfloor 2^{y/3} \right \rfloor$.

En cuanto a trabajar con $x = \left \lfloor 2^{y/3} \right \rfloor$, puedes escribirlo como $x = \left \lfloor 2^q2^{r/3} \right \rfloor$ donde $0 \leq r < 3$ lo cual puede expresarse como $\left \lfloor 10_2^q 10_2^{r/3} \right \rfloor$ en binario. A medida que $q$ aumenta (lo cual aumenta $y$ por 3), el valor de $x$ se duplica o es el doble más uno. No estoy seguro si eso es útil.

¿Cómo terminar esto?

Answer 3

No es mi respuesta. Copiada.

$x^2(x+1) = 2^y + 16$

Dado que el LHS es un número entero, entonces debemos tener $y \ge 0$.
Dado que el RHS es un entero positivo, entonces debemos tener $x \ge 1$.
$x^2(x+1)$ es estrictamente creciente para $x \ge 0$.
$2^y + 16$ es estrictamente creciente para $y \ge 0.

$$\begin{array}{n|c|c|} \hline n & n^2(n+1) & 2^n + 16 \\ \hline 0 & 0 & 17 \\ 1 & 2 & 18 \\ 2 & 12 & 20 \\ 3 & 36 & 24 \\ 4 & 80 & 32 \\ 5 & 150 & 48 \\ 6 & 252 & 80\\ \hline \end{array}$$

Observa que la tabla indica que $(x,y) = (4,6)$ es una solución.

Por lo tanto, cualquier solución que involucre $y \ge 7$ requerirá $x \ge 5$.

Mostraremos que no hay solución para $y \ge 7$.
Por lo tanto, podemos asumir ahora que $x \ge 5$ y $y \ge 7$.

\begin{align} x^2(x+1) &= 2^y + 16\\ x^2(x+1) &= 16(2^{y-4} + 1)\\ \end{align}

Observa que $2^{y-4}+1$ debe ser un entero impar.

Entonces si $x$ es un entero impar, $\gcd(x+1,2^{y-1}+1) = 1$.
$\quad$ Por lo tanto, $x+1 | 16$
$\quad$ Recordando que $x \ge 5$, debemos tener $x = 7$ o $x = 15$.
$\quad$Caso $1: x = 7$
\begin{align} 16(2^{y-4}+1) &= 392\\ 2(2^{y-4}+1) &= 49 & \text{No tiene solución.}\\ \end{align}
$\quad$Caso $2: x = 15$
\begin{align} 16(2^{y-4}+1) &= 3600\\ 2^{y-4}+1 &= 225 & \\ 2^{y-4} &= 224 \\ 2^{y-4} &= 32 \times 7 & \text{No tiene solución.}\\ \end{align}

Entonces si $x$ es un entero par, $\gcd(x^2,2^{y-1}+1) = 1$.
$\quad$ Entonces $x^2 | 16$. Esto no puede suceder ya que $x \ge 5$.