Cartan la fórmula mágica

Question

Una posible prueba de Cartan de la magia de la fórmula $$L_X = i_X \circ d+d \circ i_X$$ es seguir los pasos:

• Demostrar que dos derivaciones en $\Omega^{\bullet}(M)$ desplazamientos con $d$ son iguales si están de acuerdo en $\Omega^0(M)$.
• Mostrar que $L_X$ es una derivación en $\Omega^{\bullet}(M)$ desplazamientos con $d$.
• Mostrar que $i_X \circ d + d \circ i_X$ es una derivación en $\Omega^{\bullet}(M)$ desplazamientos con $d$.
• Mostrar que $L_X f = Xf = i_Xdf+ d i_Xf$ todos los $f \in C^{\infty}(M)=\Omega^0(M)$.

He seguido el esquema de la prueba, y el único punto en el que estoy atrapado es cuando tienes que demostrar que $L_X$ $d$ viaje.

Más precisamente, si escribo $$L_Xd\omega =\frac{d}{dt}_{|t=0} \phi_t^* d\omega = \frac{d}{dt}_{|t=0} d\phi_t^* \omega = \lim\limits_{t \to 0} d \left( \frac{1}{t} \left( \phi_t^* \omega- \omega \right) \right),$$ is there an argument to permute $d$ and $\lim\limits_{t \to 0}$?

Answer 1

Poner en el límite de hecho que sea más misterioso. Solo lo estás usando el hecho de que para el buen funciones parciales mixtas son iguales. Es decir, $$\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x^j}=\frac{\partial}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial t}.$$

EDIT: En particular, si se escribe en coordenadas locales, se calculan tomando derivadas parciales con respecto a las variables $x^1,\dots,x^n$. Escrito $\phi_t^*\omega=\sum f_I(x,t)dx^I$ (donde $I=(i_1,\dots,i_k)$ rangos de longitud-$k$ multiindices), a continuación,$d\phi_t^*\omega=\sum \frac{\partial f_I(x,t)}{\partial x^j}\,dx^j\wedge dx^I$, etc.

Answer 2

Aquí es un intento de responder a mi pregunta siguiente Ted Shifrin comentario:

En primer lugar, podemos escribir $\phi_t^* \omega(x)= \sum\limits_{I} f_I(x,t)dx^I$ donde $I$ rangos de longitud-$k$ multiindices. Entonces

$$\begin{array}{ll} dL_X \omega & = d \frac{d}{d t}_{|t=0} \phi_t^* \omega = d \sum\limits_I \frac{\partial }{\partial t}_{|t=0} f_I dx^I \\ & = \sum\limits_I \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial t}_{|t=0} f_I dx^i \wedge dx^I = \sum\limits_I \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial t}_{|t=0} \frac{\partial}{\partial x_i} f_I dx^i \wedge dx^I \\ & = \sum\limits_I \frac{d}{d t}_{|t=0} df_I \wedge dx^I = \frac{d}{dt}_{|t=0} d \phi_t^* \omega = \frac{d}{dt}_{|t=0} \phi_t^* d \omega = L_Xd\omega \end{array}$$