Son los axiomas para la teoría de grupo abelian independiente?

Question

(Doy una larga introducción para una concisa pregunta: desplácese hacia abajo si desea ir directamente a la pregunta).

Recordemos que abelian grupo de teoría consta de dos primitivos símbolos: $\cdot$, que es una función binaria símbolo, y $e$, que es una constante. Los axiomas son:

($G_1$) $\forall x \forall y \forall z \ \ x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$

($G_2$) $\forall x \ \ x\cdot e=x$

($G_3$) $\forall x \existe y \ \ x\cdot y=e$

($G_4$) $\forall x \forall y \ \ x\cdot y =y \cdot x$

Un conjunto de axiomas $\Phi$ es independiente de si por cada $\varphi\en \Phi$ existe una interpretación de $\mathcal{I}$ tal que $\mathcal{I} \modelos \Phi\setminus \{\varphi\}$ y $\mathcal{I}\no\modelos \varphi$.

En la no-formal de la lógica del lenguaje, $\mathcal{I}\modelos \Phi$ significa: la exhibición de un conjunto de $G$, con una operación binaria $\cdot$ y un elemento $e\in G$ que todos los axiomas en $\Phi$ satisfecho (tomando las variables como la pertenencia a $G$).

Así que, para demostrar que los de arriba son los axiomas independientes es exponer, por cada $i=1,\dots,4$, un conjunto de $G$, con una operación binaria $\cdot$ y un elemento $e\in G$ que $(G_j)$ tiene por cada $j\=i$ y $(G_i)$ no se sostiene. De esta manera usted demostrar que no se puede probar $(G_i)$ de $\{(G_j), j\=i\}$.

Un lindo y divertido problema en Ebbinghaus, de la Lógica Matemática (ejercicio 4.14, p. 39) nos pide demostrar que la teoría del grupo de axiomas, es decir, $\{(G_1), (G_2), (G_3)\}$ es un conjunto independiente de los axiomas. Esto es divertido para hacer.

Pero, entonces, la lógica de la pregunta que se me ocurrió es: es $\{(G_1), (G_2), (G_3) ,(G_4)\}$ un conjunto independiente de los axiomas?

Para $i=2,3,4$ es fácil probar que existen modelos de $\{(G_j):j\=i\}$ donde $(G_i)$ no se sostiene. (De hecho, para $i=2,3 dólares, de los que he pensado para el ejercicio de Ebbinghaus fueron todos conmutativa, y así funcionó;$i=4$ es sólo la existencia de la no-abelian grupos).

Pero para $i=1$ estoy teniendo un momento muy difícil. He intentado un montón de ejemplos, ninguno de los cuales trabaja. Para resumir, estoy tratando de probar que:

Existe un grupo $G$, con una operación binaria $\cdot$ tal que $\cdot$ no es asociativa, $\cdot$ es conmutativa, es un elemento de identidad $e$, y cada elemento tiene una relación inversa con respecto a la $e$.

El mejor que podía hacer era lo siguiente. Tomar $G=\mathbb{R}^2$, $(a,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,0)$. Es conmutativa, no asociativo, a la inversa con respecto a $(0,0)$ $(b,-a)$ pero $(a,b)\cdot (0,0)=(0,0)$, $(a,b)$, donde $(0,0)$ no es un elemento de identidad.

O tal vez estoy equivocado y $(G_2), (G_3), (G_4)$ implica $(G_1)$, lo que habría de venir como una sorpresa.

Answer 1

Consideremos el conjunto con tres elementos de $\{e, x, y\}$. Definir $\cdot$ a ser $a \cdot e = a$ para todo $a$, $e \cdot a =$ para todo $a$ y $a \cdot b = e$ para todo $a$ y $b$ tal que $a \neq e$ y $b \neq e$.

Entonces es claro que esta operación es conmutativa, tenía la identidad $e$, tiene inversos, pero $(x \cdot y) \cdot y = e \cdot y = y$ y $x \cdot (y \cdot y) = x \cdot e = x$.

Answer 2

Considere la posibilidad de los enteros no negativos de $\mathbb{Z}_{\ge 0}$ con la operación binaria $|x - y|$. Obviamente, esta es conmutativa. La identidad es $0$ y cada elemento es su propio inverso, pero $||1 - 1| - 2| = 2 \neq|1 - |1 - 2|| = 0$.

Answer 3

Aquí uno que conmutativa, tiene una identidad (0), cada elemento tiene un único inverso, pero no es asociativa: $$\matriz{0&1&2&3&4&5\cr1&0&3&4&5&2\cr2&3&0&5&1&4\cr3&4&5&0&2&1\cr4&5&1&2&0&3\cr5&2&4&1&3&0\cr}$$ Si se asociativa, sería un grupo de orden 6 en el que cada elemento tiene orden 2, pero no hay tal grupo, por lo que no puede ser asociativa.