(Doy una larga introducción para una concisa pregunta: desplácese hacia abajo si desea ir directamente a la pregunta).
Recordemos que abelian grupo de teoría consta de dos primitivos símbolos: $\cdot$, que es una función binaria símbolo, y $e$, que es una constante. Los axiomas son:
($G_1$) $\forall x \forall y \forall z \ \ x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
($G_2$) $\forall x \ \ x\cdot e=x$
($G_3$) $\forall x \existe y \ \ x\cdot y=e$
($G_4$) $\forall x \forall y \ \ x\cdot y =y \cdot x$
Un conjunto de axiomas $\Phi$ es independiente de si por cada $\varphi\en \Phi$ existe una interpretación de $\mathcal{I}$ tal que $\mathcal{I} \modelos \Phi\setminus \{\varphi\}$ y $\mathcal{I}\no\modelos \varphi$.
En la no-formal de la lógica del lenguaje, $\mathcal{I}\modelos \Phi$ significa: la exhibición de un conjunto de $G$, con una operación binaria $\cdot$ y un elemento $e\in G$ que todos los axiomas en $\Phi$ satisfecho (tomando las variables como la pertenencia a $G$).
Así que, para demostrar que los de arriba son los axiomas independientes es exponer, por cada $i=1,\dots,4$, un conjunto de $G$, con una operación binaria $\cdot$ y un elemento $e\in G$ que $(G_j)$ tiene por cada $j\=i$ y $(G_i)$ no se sostiene. De esta manera usted demostrar que no se puede probar $(G_i)$ de $\{(G_j), j\=i\}$.
Un lindo y divertido problema en Ebbinghaus, de la Lógica Matemática (ejercicio 4.14, p. 39) nos pide demostrar que la teoría del grupo de axiomas, es decir, $\{(G_1), (G_2), (G_3)\}$ es un conjunto independiente de los axiomas. Esto es divertido para hacer.
Pero, entonces, la lógica de la pregunta que se me ocurrió es: es $\{(G_1), (G_2), (G_3) ,(G_4)\}$ un conjunto independiente de los axiomas?
Para $i=2,3,4$ es fácil probar que existen modelos de $\{(G_j):j\=i\}$ donde $(G_i)$ no se sostiene. (De hecho, para $i=2,3 dólares, de los que he pensado para el ejercicio de Ebbinghaus fueron todos conmutativa, y así funcionó; $i=4$ es sólo la existencia de la no-abelian grupos).
Pero para $i=1$ estoy teniendo un momento muy difícil. He intentado un montón de ejemplos, ninguno de los cuales trabaja. Para resumir, estoy tratando de probar que:
Existe un grupo $G$, con una operación binaria $\cdot$ tal que $\cdot$ no es asociativa, $\cdot$ es conmutativa, es un elemento de identidad $e$, y cada elemento tiene una relación inversa con respecto a la $e$.
El mejor que podía hacer era lo siguiente. Tomar $G=\mathbb{R}^2$, $(a,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,0)$. Es conmutativa, no asociativo, a la inversa con respecto a $(0,0)$ $(b,-a)$ pero $(a,b)\cdot (0,0)=(0,0)$, $(a,b)$, donde $(0,0)$ no es un elemento de identidad.
O tal vez estoy equivocado y $(G_2), (G_3), (G_4)$ implica $(G_1)$, lo que habría de venir como una sorpresa.
