Sí, $\sqrt{2}$ sólo le dice que es un número que, cuando se eleva al cuadrado, los rendimientos de la $2$. Es mucho más informativo que cualquier otra cosa que usted podría escribir para el mismo número. Sin embargo, el hecho de que $\sqrt{2}^2=2$ es realmente importante en ciertos contextos. Por ejemplo, en matemáticas superiores, a menudo estamos tan preocupados con la facilidad determinado hecho de $\sqrt{2}$ está en algún lugar entre el $1.4$ $1.5$ que estamos con otras preguntas acerca de ella.
En particular, algunas ramas de las matemáticas dejar de pensar en los números reales por completo, y dejar de pensar en organizar las cosas en el número de línea, y sólo queremos hablar acerca de la adición y la multiplicación. Empiezan en los números racionales, $\mathbb Q$, equipado con su ordinaria de la suma y la multiplicación y moverse más. Rápidamente, uno puede crear preguntas que no tienen solución, como:
Lo $x$ satisface $x^2=2$?
que no puede ser resuelto en los racionales. Sin embargo, una pregunta natural es, "Bueno, suponiendo que no se de una solución a eso, ¿qué propiedades pueden tener?" Así, se define un nuevo número, $\sqrt{2}$ y extender los racionales por lo que el campo de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$. ¿Qué significa esto?
Bien, ahora estamos considerando a cualquier número que se puede escribir como un polinomio con coeficientes racionales, de $\sqrt{2}$ - o, equivalentemente, los números que pueden escribirse como una suma o el producto de los números racionales y $\sqrt{2}$. Así, ahora estamos interesados en cosas como $\sqrt{2}+1$ $\frac{1}2-3\sqrt{2}+\sqrt{2}^3$ y como la suma y la multiplicación podría trabajar con ellos. Seguramente, cada número es de la forma
$$a+b\sqrt{2}$$
racional, $a$ $b$ y definimos la suma y la multiplicación como
$$(a_1+b_1\sqrt{2})(a_2+b_2\sqrt{2})=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)\sqrt{2}$$
$$(a_1+b_1\sqrt{2})+(a_2+b_2\sqrt{2})=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{2}$$
que puede que no parezca mucho al principio, pero, de repente, tenemos un nuevo campo en el que podemos realizar la suma y la multiplicación (y podemos incluso encontrar resultados, como el de la división, si miramos más difícil) - y encontramos cosas curiosas como la definición de $\overline{a+b\sqrt{2}}=a-b\sqrt{2}$ conserva toda la estructura de la multiplicación y la suma, la cual nos dice que $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ son de alguna manera intercambiable.
Esta rama de las matemáticas es demasiado grande para resumir, en cualquier forma adecuada, pero, esencialmente, mi punto es que la algebraicas propiedades de un número, es decir, cómo responde a la adición y la multiplicación son muy vale la pena en su propio derecho, y por lo tanto, aunque la notación consiste en "inventar" nuevos números que no podemos escribir en cualquier satisfactoria la forma cerrada como podemos los racionales, la definición de "$\sqrt{2}$ es un número que, cuando se eleva al cuadrado, da $2$"en realidad tiene un montón de interés para ella.
