Definiciones de integral de Lebesgue

Question

Sé que la definición, a partir de A. N. Kolmogorov y S. V. Fomin del Элементы теории функций и функционального анализа, de Lebesgue la integral de la función medible $f:X\to \mathbb{C}$ $X,\mu(X)<\infty$ como el limit$$\int_X fd\mu:=\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^\infty y_{n,k}\mu(A_{n,k})$$where $\{f_n\}$ is a sequence of simple, i.e. taking countably many (not necessarily finitely) values $y_{n,k}$ for $k=1,2,\ldots$, functions $f_n:X\to\mathbb{C}$ uniformly converging to $f$, and $\{y_{n,k}\}=f_n(A_{n,k})$ where $\forall i\ne j\quad A_{n,i}\cap A_{n,j}=\emptyset$. If $\mu$ is not finite but is $\sigma$-finite with $X=\bigcup_{j=1}^\infty X_j$, $X_1\subconjunto X_2\subconjunto\ldots$ then $\int_{X}de {fd\mu:=\lim_j\int_{X_j}fd\mu$ if such limit exists for any sequence $\{X_j\}$ (said to be exhaustive) such that $X=\bigcup_{j=1}^\infty X_j$, $X_1\subconjunto X_2\subconjunto\ldots$.

He leído otros autores la definición de la integral de Lebesgue no negativos funciones de $g:X\to[0,+\infty]$ donde $\mu(X)\le\infty$, mediante el uso de simples no negativas funciones de $s_i$ tomar sólo un número finito de valores en conjuntos medibles $A_i$, de la siguiente manera:$$\int_X gd\mu:=\sup\Bigg\{\sum_i s_i\mu(A_i):\forall x\in X\quad s_i(x)\le g(x)\Bigg\}$$ and in general in the following way, provided that $\int_X|f|d\mu<\infty$:$$\int_Xfd\mu:=\int_X \text{Re}f_+d\mu-\int_X \text{Re}f_-d\mu+i\Bigg(\int_X \text{Im}f_+d\mu-\int_X \text{Im}f_-d\mu\Bigg)$$ donde el subíndice $\pm$ se utiliza para definir $g_+(x):=\max\{g(x),0\}$ $g_-(x):=-\min\{g(x),0\}$ para cualquier función medible $g$.

No he sido capaz de encontrar más sobre él, ya que los textos que están a mi disposición todo el uso del test de Kolmogorov-Fomin definición, pero estoy convencido de que tales definiciones son equivalentes.

De lo que yo sé -he terminado la prueba de Kolmogorov-Fomin del Элементы теории функций и функционального анализа, que coincide significativamente con Introductorio Análisis Real de los mismos autores - yo diría que sería suficiente para demostrar la equivalencia no negativos funciones de $g:X\to[0,+\infty)$.

Si son equivalentes, ¿cómo puede ser demostrado? No he sido capaz de utilizar lo que yo sé, la prueba de Kolmogorov-Fomin del contenido, para probarlo: es mucho más avanzados conocimientos necesarios? He intentado mediante el uso de la densidad en $L^1(X)$ del conjunto de measurabe funciones que toman un número finito de valores en la medida finita de conjuntos, y también el hecho de que, si $\mu(X_j)<\infty$$\{s_k\}$,$s_k:X_j\to\mathbb{C}$, converge a $g:X_j\to\mathbb{C}$ en la métrica de $L^1(X_j)$, luego de una larga de $\{s_k\}$ converge uniformemente a $g$, pero no he sido capaz de demostrar la equivalencia de las dos definiciones. Yo uncountably gracias!

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios GEdgar, puede ser derivada a partir de las propiedades básicas obtenidos a partir de ambas definiciones (propiedades básicas de la "inusual" que se define integral podría encontrarse, por ejemplo, en Bogachev-Smolyanov libro de texto). Por norma teoremas de convergencia (Lebesgue, Levi) el problema se reduce a la comparación de las integrales de funciones que toman un número finito de valores, que a su vez reducir a la linealidad de las funciones de los indicadores de conjuntos medibles y el último caso es evidente a partir de la definición. Voy a dar una prueba directa, aunque.

Denotar por $I_1(f)$ integral en la primera definición y $I_2(f)$ el uno en el segundo. Suponga que $0\le f<\infty$$\mu(X)<\infty$. Tome $y_{n,j}=j/n$$A_{n,j}=f^{-1}[j/n,(j+1)/n)$. Desde $I_1(f)=\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{j=0}^k y_{n,j}\mu(A_{n,j})$ y cada una de las $\sum\limits_{j=0}^k y_{n,j}I_{A_{n,j}}\le f$, se deduce que el $I_1(f)\le I_2(f)$.

Para demostrar que la inversa de la desigualdad, tome $y_{n,j}=j/n$$A_{n,j}=f^{-1}((j-1)/n,j/n]$. A continuación, para cada $s(x)=\sum_i s_i\mu(B_i)$ tal que $s\le f$, tenemos $$ \sum s_i\mu(B_i)= \sum_{i,j} s_i\mu(B_i\cap A_{n,j})\le \sum_{i,j} y_{n,j}\mu(B_i\cap A_{n,j})\le \sum_{j} y_{n,j}\mu(A_{n,j})\a I_1(f). $$ Así, desde la $s$ fue arbitraria, $I_2(f)\le I_1(f)$.

Si $X=\bigcup X_i$, $\mu(X_i)<\infty$, por definición $$ I_1(f)=\lim I_1(f I_{X_i})=\lim I_2(f I_{X_i})\le I_2(f). $$

Para cada función simple $s\le f$, $$ I_2(s)=I_1(s)=\lim I_1(s I_{X_i})\le\lim I_1(f I_{X_i})\le I_1(f), $$ por lo $I_2(f)\le I_1(f)$. La monotonía de la propiedad de $I_1$ $I_2$ para funciones positivas pueden ser vistos directamente a partir de las definiciones.

Por último, si $\mu(f=\infty)>0$, ambas integrales se puede comprobar a ser infinita por la elección de algunos de aproximación de funciones, incluyendo las $\infty\cdot I_{(f=\infty)}$ plazo. El caso de firmado/complejo de $f$ sigue de inmediato, ya que se definen mediante positivo/negativo partes.