¿Por qué es homogéneo el cubo de Hilbert?

Question

El cubo de Hilbert $H$ se define como $[0,1]^{\mathbb{N}}$ es decir, un producto contable de intervalos unitarios, topologizado con la topología del producto.

He leído que el cubo de Hilbert es homogéneo. Es decir, dados dos puntos $p, q\in H$ existe un homeomorfismo $f:H\rightarrow H$ con $f(p)=q$ .

Lo que me confunde es que parece que hay una estratificación de puntos. Es decir, hay

1. Puntos contenidos en $(0,1)^{\mathbb{N}}$

2. Puntos que tienen precisamente $n$ coordinar a $0$ o $1$ para n un número natural fijo.

3. Punto que tiene un número contable de coordenadas igual a $0$ o $1$ y contablemente muchos no y

4. Puntos que tienen n coordenadas NO iguales a $0$ o $1$ .

Ahora, para fijo $p$ y $q$ ambos en clase $1$ o $3$ (o fijar una n y utilizar la clase $2$ o $4$ ), tengo claro que existe un homeomorfismo tomando $p$ a $q$ simplemente intercambiando los factores y utilizando el hecho de que $(0,1)$ es claramente homogénea.

Pero, ¿cuáles son los homeomorfismos que mezclan las clases? En particular, ¿qué homemorfismo toma $(0,0,0,\ldots )$ a $(1/2, 1/2,1/2,\ldots )$ ?

Dicho de otro modo, para cualquier número natural $n>1$ , $[0,1]^n$ NO es homogénea, precisamente a causa de estos puntos límite. ¿Qué permite tratar los puntos límite en el caso del producto infinito?

Como siempre, siéntete libre de reetiquetar, ¡y gracias de antemano!

Editar En el caso de que alguien se encuentre con esta pregunta, sólo quería proporcionar una idea aproximada de la respuesta, tal y como se desprende del enlace que Pete proporcionó en su respuesta.

Si se tiene un punto de la forma $(1,p)$ en $[0,1] \times [0,1]$ entonces existe un auto homeomorfismo de $[0,1]\times[0,1]$ tomando $(1,p)$ a $(q,1)$ con $q\neq 0, 1$ . Por ejemplo, se puede utilizar una "rotación cuadrada". A partir de aquí, la idea es sencilla: dado un punto en $H$ de la forma $(1, p_2, p_3, p_4,\ldots )$ Aplicar la rotación al cuadrado sobre los dos primeros factores para obtener un nuevo punto de la forma $(q_1, 1, p_2, p_3,\ldots )$ . Ahora, aplica la rotación cuadrada sobre los dos segundos factores para obtener un nuevo punto de la forma $(q_1, q_2, 1, p_3,\ldots )$ . La cuestión es que después de $k$ iteraciones, la primera $k$ las coordenadas están todas en el interior.

Ahora se demuestra un lema técnico que afirma que la composición infinita de estos homeomorfismos es un homeomorfismo bien definido. La composición infinita hace corresponder el punto $(1, p_2, \ldots )$ a un punto de la forma $(q_1, q_2,\ldots )$ que se encuentra en el "interior" de $H$ . Por último, utilizando el hecho de que $(0,1)$ es claramente homogénea, se puede mapear fácilmente $(q_1, q_2,\ldots )$ a $(1/2,1/2,\ldots )$ .

Answer 1

En los libros de Jan van Mill (la topología de dimensión infinita, un requisito previo; la topología de dimensión infinita de los espacios de funciones) hay pruebas completas autocontenidas (a partir de material básico sobre espacios métricos separables) [en esencia, la misma prueba en ambos, pero el segundo libro es más reciente, por lo que podría estar más fácilmente disponible]. Se basa en la prueba de Anderson, y utiliza el criterio de convergencia inductiva, que establece en esencia que cuando (para metrisable compacta $X$ ) $h_n$ es una secuencia de homeomorfismos de $X$ existe una secuencia de $\epsilon_n > 0$ tal que si $d(h_n, 1_X) < \epsilon_n$ donde $1_X$ es la identidad en $X$ y $d$ es una distancia completa en el espacio de homeomorfismos de $X$ que entonces el límite de $h_n \circ h_{n-1} \circ \ldots h_1$ como $n$ tiende a infinito existe y es un homeomorfismo de $X$ . Además, cada $\epsilon_n$ depende únicamente del $h_i$ con $i < n$ . Esto permite construir homeomorfismos de espacios compactos metrizables de forma muy controlada. Nótese que una métrica en el cubo de Hilbert es tal que un movimiento en una coordenada alta sólo contribuye una cantidad muy pequeña a la distancia, por lo que podemos empujar los problemas a coordenadas cada vez más altas y "resolverlos" allí mediante un movimiento suficientemente pequeño. Con este criterio la prueba es de sólo 2 páginas más o menos.

Answer 2

Cuando vi la pregunta por primera vez, tenía la intención de publicar el siguiente enlace como respuesta, pero luego vi que Qiaochu se había adelantado con una respuesta esencialmente equivalente. Sigo sin ver ninguna carencia en su respuesta (fui el primero en votarla), pero si alguien busca una referencia diferente, aquí tiene una:

http://www.narcis.info/publication/RecordID/oai:cwi.nl:7603

Answer 3

Parece un resultado difícil. Fue demostrado por primera vez en 1931 por O. H. Keller ( referencia ), pero el documento está en alemán. En realidad, Keller demuestra un resultado más contundente: cualquier conjunto convexo compacto de dimensión infinita en $\ell^2$ es homeomorfo al cubo de Hilbert. (Supongo que hay una opción obvia de tal conjunto que es claramente homogéneo, pero no puedo pensar en uno en este momento).

Existe otra demostración del teorema en este documento de Ageev, que está en inglés.

Answer 4

Entretanto, se dio una prueba elemental y autocontenida de la homogeneidad del cubo de Hilbert en

La propiedad homogénea del cubo de Hilbert , por Denise M. Halverson, David G. Wright, 2012.